Задача, яку ви надіслали, вимагає перевірки нульових гіпотез на основі двох вибірок $X$ та $Y$, які мають нормальний розподіл і незалежні між собою. В завданні вказані такі етапи:

1. Перевірити нульову гіпотезу $H_0 : M(X) = M(Y)$ з альтернативними гіпотезами:

   • $H_1 : M(X) > M(Y)$,
   • $H_1 : M(X) < M(Y)$,
   • $H_1 : M(X) \neq M(Y)$.

2. Перевірити нульову гіпотезу $H_0 : D(X) = D(Y)$ при рівні значущості $\alpha = 0.05$, якщо альтернативна гіпотеза $H_1 : D(X) > D(Y)$.

Таблиця нижче містить вибіркові значення для $X$ та $Y$, а також відповідні значення рівня значущості $\alpha$.

Давайте почнемо з кроків рішення для кожної з цих гіпотез.

Крок 1: Перевірка рівності математичних сподівань $M(X)$ та $M(Y)$

Для перевірки цієї гіпотези використовуємо t-тест для незалежних вибірок, оскільки вибірки $X$ та $Y$ мають нормальний розподіл та однакову дисперсію за нульовою гіпотезою.

Кроки:

1. Обчислити середні значення вибірок: $\bar{X} = \frac{\sum X}{n_X}, \quad \bar{Y} = \frac{\sum Y}{n_Y}$
2. Обчислити вибіркові дисперсії: $S_X^2 = \frac{1}{n_X-1}\sum(X_i - \bar{X})^2, \quad S_Y^2 = \frac{1}{n_Y-1}\sum(Y_i - \bar{Y})^2$
3. Обчислити t-статистику для порівняння середніх: $t = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{S_X^2/n_X + S_Y^2/n_Y}}$
4. Порівняти значення t-статистики з критичним значенням із таблиці t-розподілу для заданого рівня значущості $\alpha$.

Крок 2: Перевірка рівності дисперсій $D(X)$ та $D(Y)$

Для перевірки цієї гіпотези використаємо F-тест, оскільки він призначений для порівняння двох дисперсій.

Кроки:

1. Обчислити вибіркові дисперсії: $S_X^2 = \frac{1}{n_X-1}\sum(X_i - \bar{X})^2, \quad S_Y^2 = \frac{1}{n_Y-1}\sum(Y_i - \bar{Y})^2$
2. Обчислити F-статистику: $F = \frac{S_X^2}{S_Y^2}$
3. Порівняти значення F-статистики з критичним значенням із таблиці F-розподілу для заданого рівня значущості $\alpha$.

Я можу продовжити обчислення на основі таблиці значень, наведених на зображенні. Чи хочете ви, щоб я розрахував усі статистичні показники та перевірив гіпотези?