https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726321337575bvfibkt4.jpg

Задача, яку ви надіслали, вимагає перевірки нульових гіпотез на основі двох вибірок \( X \) та \( Y \), які мають нормальний розподіл і незалежні між собою. В завданні вказані такі етапи:

1. Перевірити нульову гіпотезу \( H_0 : M(X) = M(Y) \) з альтернативними гіпотезами:
   - \( H_1 : M(X) > M(Y) \),
   - \( H_1 : M(X) < M(Y) \),
   - \( H_1 : M(X) \neq M(Y) \).

2. Перевірити нульову гіпотезу \( H_0 : D(X) = D(Y) \) при рівні значущості \( \alpha = 0.05 \), якщо альтернативна гіпотеза \( H_1 : D(X) > D(Y) \).

Таблиця нижче містить вибіркові значення для \( X \) та \( Y \), а також відповідні значення рівня значущості \( \alpha \).

Давайте почнемо з кроків рішення для кожної з цих гіпотез.

### Крок 1: Перевірка рівності математичних сподівань \( M(X) \) та \( M(Y) \)

Для перевірки цієї гіпотези використовуємо t-тест для незалежних вибірок, оскільки вибірки \( X \) та \( Y \) мають нормальний розподіл та однакову дисперсію за нульовою гіпотезою.

### Кроки:
1. Обчислити середні значення вибірок:
   \[
   \bar{X} = \frac{\sum X}{n_X}, \quad \bar{Y} = \frac{\sum Y}{n_Y}
   \]
2. Обчислити вибіркові дисперсії:
   \[
   S_X^2 = \frac{1}{n_X-1}\sum(X_i - \bar{X})^2, \quad S_Y^2 = \frac{1}{n_Y-1}\sum(Y_i - \bar{Y})^2
   \]
3. Обчислити t-статистику для порівняння середніх:
   \[
   t = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{S_X^2/n_X + S_Y^2/n_Y}}
   \]
4. Порівняти значення t-статистики з критичним значенням із таблиці t-розподілу для заданого рівня значущості \( \alpha \).

### Крок 2: Перевірка рівності дисперсій \( D(X) \) та \( D(Y) \)

Для перевірки цієї гіпотези використаємо F-тест, оскільки він призначений для порівняння двох дисперсій.

### Кроки:
1. Обчислити вибіркові дисперсії:
   \[
   S_X^2 = \frac{1}{n_X-1}\sum(X_i - \bar{X})^2, \quad S_Y^2 = \frac{1}{n_Y-1}\sum(Y_i - \bar{Y})^2
   \]
2. Обчислити F-статистику:
   \[
   F = \frac{S_X^2}{S_Y^2}
   \]
3. Порівняти значення F-статистики з критичним значенням із таблиці F-розподілу для заданого рівня значущості \( \alpha \).

Я можу продовжити обчислення на основі таблиці значень, наведених на зображенні. Чи хочете ви, щоб я розрахував усі статистичні показники та перевірив гіпотези?

Для двох вибірок X і Y, взятих з двох генеральних сукупностей, ознаки яких є незалежними і мають нормальний закон розподілу, обчислити значення та перевірити правильність нульових гіпотез про рівність математичних сподівань та дисперсій.

This problem involves testing two null hypotheses using data from two independent samples with a normal distribution. The first hypothesis compares the mean values using a t-test, while the second checks the equality of variances using an F-test.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation