Este problema se puede resolver mediante una prueba de hipótesis para una media poblacional utilizando una muestra. Aquí se busca determinar si el consumo promedio de gasolina ha aumentado en comparación con el valor del año pasado de 14 galones/mes, utilizando un nivel de significancia del 5%. Procedamos paso a paso:

Paso 1: Definir las hipótesis

• Hipótesis nula $H_0$: El consumo promedio de gasolina no ha aumentado, es decir, sigue siendo 14 galones/mes o menor. $H_0: \mu \leq 14$

• Hipótesis alternativa $H_a$: El consumo promedio de gasolina ha aumentado. $H_a: \mu > 14$

Este es un test unilateral porque se quiere demostrar que el consumo ha aumentado.

Paso 2: Nivel de significancia y tipo de prueba

• El nivel de significancia ($\alpha$) es del 5%, es decir, 0.05.
• Vamos a realizar una prueba t porque no conocemos la desviación estándar poblacional, solo tenemos la desviación estándar muestral.

Paso 3: Calcular el valor del estadístico t

La fórmula del estadístico t para una muestra es: $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ donde:

• $\bar{x} = 15.2$ galones/mes es el promedio muestral,
• $\mu_0 = 14$ galones/mes es el valor que queremos contrastar,
• $s = 2.7$ galones/mes es la desviación estándar muestral,
• $n = 90$ es el tamaño de la muestra.

Sustituyendo los valores: $t = \frac{15.2 - 14}{\frac{2.7}{\sqrt{90}}} = \frac{1.2}{\frac{2.7}{9.4868}} = \frac{1.2}{0.2846} \approx 4.216$

Paso 4: Determinar el valor crítico y la región de rechazo

Dado que se trata de una prueba t con una muestra de tamaño $n = 90$, los grados de libertad son $n - 1 = 89$.

Utilizando una tabla de distribución t de Student o una calculadora de p-valores:

• Para $\alpha = 0.05$ y 89 grados de libertad, el valor crítico de t es aproximadamente $t_{crítico} \approx 1.662$ (para una prueba unilateral).

Paso 5: Decisión

• El valor calculado de $t = 4.216$ es mayor que el valor crítico $t_{crítico} = 1.662$.
• Como $t_{calculado} > t_{crítico}$, rechazamos la hipótesis nula $H_0$.

Conclusión:

Con un nivel de significancia del 5%, podemos afirmar que hay suficiente evidencia estadística para concluir que el consumo promedio de gasolina ha aumentado este año.

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¿Te gustaría más detalles sobre los pasos o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para practicar:

1. ¿Qué sucedería si el nivel de significancia fuera del 1%?
2. ¿Cómo cambiaría la prueba si estuviéramos interesados en una diferencia, no solo en un aumento?
3. ¿Qué pasa si el tamaño de la muestra fuera menor, digamos 30 autos?
4. ¿Cómo se vería afectada la prueba si la desviación estándar fuera mayor?
5. ¿Cómo se interpreta el valor p en una prueba de hipótesis?

Tip: En pruebas de hipótesis, siempre es clave definir correctamente si es una prueba unilateral o bilateral antes de empezar los cálculos.