los vértices de una hipérbola son los puntos (2,0) y (-2,0) y sus focos son los puntos (3,0) y (-3,0). hallar la ecuación  

Dado que los vértices de la hipérbola son los puntos \((2, 0)\) y \((-2, 0)\), la hipérbola está centrada en el origen \((0, 0)\) y tiene su eje mayor a lo largo del eje \(x\). Además, los focos están en los puntos \((3, 0)\) y \((-3, 0)\), lo que confirma que es una hipérbola horizontal.

La ecuación estándar de una hipérbola horizontal centrada en \((0, 0)\) es:

\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
\]

Donde:
- \(a\) es la distancia desde el centro hasta los vértices.
- \(c\) es la distancia desde el centro hasta los focos.
- \(b\) es tal que \(b^2 = c^2 - a^2\).

### Paso 1: Calcular \(a\)
Los vértices están a una distancia de 2 unidades del origen, por lo que \(a = 2\).

### Paso 2: Calcular \(c\)
Los focos están a una distancia de 3 unidades del origen, por lo que \(c = 3\).

### Paso 3: Calcular \(b\)
Sabemos que \(b^2 = c^2 - a^2\):

\[
b^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5
\]

Por lo tanto, \(b^2 = 5\).

### Paso 4: Ecuación de la hipérbola
Sustituyendo los valores de \(a^2 = 4\) y \(b^2 = 5\) en la ecuación general, obtenemos:

\[
\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1
\]

Esta es la ecuación de la hipérbola.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina si una hipérbola es horizontal o vertical?
2. ¿Qué representa \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación de una hipérbola?
3. ¿Cómo cambiaría la ecuación si la hipérbola estuviera centrada en un punto diferente?
4. ¿Cuál es la relación entre los focos y los vértices en una hipérbola?
5. ¿Qué papel juega el eje transverso en la forma de la ecuación?

**Tip**: Los valores \(a\), \(b\) y \(c\) siempre siguen la relación \(c^2 = a^2 + b^2\) en las hipérbolas.

Los vértices de una hipérbola son los puntos (2,0) y (-2,0) y sus focos son los puntos (3,0) y (-3,0). Hallar la ecuación.

Learn how to find the equation of a hyperbola with vertices at (2,0) and (-2,0), and foci at (3,0) and (-3,0). This detailed solution explains the step-by-step process, covering key hyperbola concepts and geometry. Suitable for students in Grades 10-12.

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