Dado que los vértices de la hipérbola son los puntos $(2, 0)$ y $(-2, 0)$, la hipérbola está centrada en el origen $(0, 0)$ y tiene su eje mayor a lo largo del eje $x$. Además, los focos están en los puntos $(3, 0)$ y $(-3, 0)$, lo que confirma que es una hipérbola horizontal.

La ecuación estándar de una hipérbola horizontal centrada en $(0, 0)$ es:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Donde:

• $a$ es la distancia desde el centro hasta los vértices.
• $c$ es la distancia desde el centro hasta los focos.
• $b$ es tal que $b^2 = c^2 - a^2$.

Paso 1: Calcular $a$

Los vértices están a una distancia de 2 unidades del origen, por lo que $a = 2$.

Paso 2: Calcular $c$

Los focos están a una distancia de 3 unidades del origen, por lo que $c = 3$.

Paso 3: Calcular $b$

Sabemos que $b^2 = c^2 - a^2$:

$b^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$

Por lo tanto, $b^2 = 5$.

Paso 4: Ecuación de la hipérbola

Sustituyendo los valores de $a^2 = 4$ y $b^2 = 5$ en la ecuación general, obtenemos:

$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$

Esta es la ecuación de la hipérbola.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina si una hipérbola es horizontal o vertical?
2. ¿Qué representa $a$, $b$ y $c$ en la ecuación de una hipérbola?
3. ¿Cómo cambiaría la ecuación si la hipérbola estuviera centrada en un punto diferente?
4. ¿Cuál es la relación entre los focos y los vértices en una hipérbola?
5. ¿Qué papel juega el eje transverso en la forma de la ecuación?

Tip: Los valores $a$, $b$ y $c$ siempre siguen la relación $c^2 = a^2 + b^2$ en las hipérbolas.