L'uguaglianza $f(f^{-1}(x)) = x$ è una proprietà fondamentale delle funzioni inverse. Essa dice che se applichi una funzione $f$ alla sua inversa $f^{-1}$, ottieni semplicemente l'input $x$. Vediamo come dimostrarlo:

Passi:

1. Definizione di funzione inversa: Per definizione, la funzione inversa $f^{-1}(x)$ è la funzione che "annulla" l'operazione di $f(x)$. Quindi, se $y = f^{-1}(x)$, allora $f(y) = x$.

2. Applicazione di $f$ a $f^{-1}(x)$: Quando applichi $f$ alla sua inversa, stai dicendo che stai invertendo il processo. Partendo da $x$, applichi l'inversa $f^{-1}$ per trovare il valore $y$, quindi applichi $f(y)$ per tornare a $x$.

   $f(f^{-1}(x)) = x$

   Questo significa che, passando attraverso la funzione e poi la sua inversa, torni esattamente al punto di partenza.

3. Verifica: Questo si può verificare osservando che per ogni $x$ appartenente al dominio di $f$, la funzione $f^{-1}(x)$ restituisce il valore per cui $f$ torna a $x$.

In sintesi, la composizione di una funzione con la sua inversa restituisce sempre l'argomento iniziale, ovvero $f(f^{-1}(x)) = x$.

Domande correlate:

1. Qual è la condizione necessaria affinché una funzione $f$ abbia un'inversa?
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3. Qual è il ruolo della biiettività (iniettività e suriettività) nel garantire l'esistenza di una funzione inversa?
4. Come si verifica se due funzioni sono inverse l'una dell'altra?
5. Come varia il grafico di una funzione quando viene invertita?

Tip: Quando una funzione ha un'inversa, il grafico della funzione e quello della sua inversa sono simmetrici rispetto alla retta $y = x$.