L'uguaglianza \( f(f^{-1}(x)) = x \) è una proprietà fondamentale delle funzioni inverse. Essa dice che se applichi una funzione \( f \) alla sua inversa \( f^{-1} \), ottieni semplicemente l'input \( x \). Vediamo come dimostrarlo:

### Passi:

1. **Definizione di funzione inversa**: Per definizione, la funzione inversa \( f^{-1}(x) \) è la funzione che "annulla" l'operazione di \( f(x) \). Quindi, se \( y = f^{-1}(x) \), allora \( f(y) = x \).
   
2. **Applicazione di \( f \) a \( f^{-1}(x) \)**: Quando applichi \( f \) alla sua inversa, stai dicendo che stai invertendo il processo. Partendo da \( x \), applichi l'inversa \( f^{-1} \) per trovare il valore \( y \), quindi applichi \( f(y) \) per tornare a \( x \).

   \[
   f(f^{-1}(x)) = x
   \]

   Questo significa che, passando attraverso la funzione e poi la sua inversa, torni esattamente al punto di partenza.

3. **Verifica**: Questo si può verificare osservando che per ogni \( x \) appartenente al dominio di \( f \), la funzione \( f^{-1}(x) \) restituisce il valore per cui \( f \) torna a \( x \).

In sintesi, la composizione di una funzione con la sua inversa restituisce sempre l'argomento iniziale, ovvero \( f(f^{-1}(x)) = x \).

### Domande correlate:

1. Qual è la condizione necessaria affinché una funzione \( f \) abbia un'inversa?
2. Come si calcola l'inversa di una funzione specifica, ad esempio \( f(x) = 2x + 3 \)?
3. Qual è il ruolo della biiettività (iniettività e suriettività) nel garantire l'esistenza di una funzione inversa?
4. Come si verifica se due funzioni sono inverse l'una dell'altra?
5. Come varia il grafico di una funzione quando viene invertita?

**Tip**: Quando una funzione ha un'inversa, il grafico della funzione e quello della sua inversa sono simmetrici rispetto alla retta \( y = x \).

Discover how to prove the equation f(f^-1(x)) = x, a fundamental property of inverse functions. This solution walks through key concepts like inverse functions, function composition, and the inverse function theorem, ideal for high school students in Grades 10-12.

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