Pour factoriser un trinôme du second degré de la forme générale $ax^2 + bx + c$, voici les étapes à suivre :

1. Vérifier si le trinôme est factorisable

Le trinôme peut être factorisé si le discriminant $\Delta$ est un carré parfait. Le discriminant est donné par la formule : $\Delta = b^2 - 4ac$

2. Calculer le discriminant

• Si $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles et distinctes.
• Si $\Delta = 0$, il y a une solution réelle double.
• Si $\Delta < 0$, le trinôme n'est pas factorisable dans les réels, mais peut l’être dans les complexes.

3. Trouver les racines

Si $\Delta \geq 0$, on peut calculer les racines $x_1$ et $x_2$ du trinôme à l’aide de la formule : $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

4. Factoriser le trinôme

Une fois les racines $x_1$ et $x_2$ trouvées, le trinôme se factorise comme suit : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ Si $\Delta = 0$ (c’est-à-dire une racine double), le trinôme se factorise sous la forme : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$

5. Cas particuliers (trinômes remarquables)

Parfois, certains trinômes sont directement factorisables sans calcul du discriminant. Voici deux cas fréquents :

• $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
• $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Exemple :

Factorisons $2x^2 + 5x + 3$.

1. Calcul du discriminant : $\Delta = 5^2 - 4 \times 2 \times 3 = 25 - 24 = 1$
2. Les racines sont : $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \times 2} = -1, \quad x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \times 2} = -\frac{3}{2}$
3. La factorisation est donc : $2x^2 + 5x + 3 = 2(x + 1)(x + \frac{3}{2}) = (2x + 3)(x + 1)$

Veux-tu des détails ou as-tu des questions ?

Voici 5 questions pour aller plus loin :

1. Comment factoriser un trinôme avec un discriminant négatif ?
2. Quelle est la différence entre factorisation et résolution d'équation ?
3. Comment utiliser les identités remarquables dans la factorisation ?
4. Pourquoi le discriminant permet-il de savoir si un trinôme est factorisable ?
5. Comment factoriser un trinôme si ses coefficients sont fractionnaires ?

Astuce : Si le discriminant n'est pas un carré parfait, le trinôme n'est généralement pas factorisable avec des coefficients rationnels.