Pour factoriser un trinôme du second degré de la forme générale \( ax^2 + bx + c \), voici les étapes à suivre :

### 1. **Vérifier si le trinôme est factorisable**  
   Le trinôme peut être factorisé si le discriminant \(\Delta\) est un carré parfait. Le discriminant est donné par la formule :
   \[
   \Delta = b^2 - 4ac
   \]

### 2. **Calculer le discriminant**  
   - Si \(\Delta > 0\), il y a deux solutions réelles et distinctes.
   - Si \(\Delta = 0\), il y a une solution réelle double.
   - Si \(\Delta < 0\), le trinôme n'est pas factorisable dans les réels, mais peut l’être dans les complexes.

### 3. **Trouver les racines**  
   Si \(\Delta \geq 0\), on peut calculer les racines \(x_1\) et \(x_2\) du trinôme à l’aide de la formule :
   \[
   x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
   \]

### 4. **Factoriser le trinôme**  
   Une fois les racines \(x_1\) et \(x_2\) trouvées, le trinôme se factorise comme suit :
   \[
   ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)
   \]
   Si \(\Delta = 0\) (c’est-à-dire une racine double), le trinôme se factorise sous la forme :
   \[
   ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2
   \]

### 5. **Cas particuliers (trinômes remarquables)**  
   Parfois, certains trinômes sont directement factorisables sans calcul du discriminant. Voici deux cas fréquents :
   - \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \)
   - \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \)

### Exemple :
Factorisons \( 2x^2 + 5x + 3 \).

1. Calcul du discriminant :
   \[
   \Delta = 5^2 - 4 \times 2 \times 3 = 25 - 24 = 1
   \]
2. Les racines sont :
   \[
   x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \times 2} = -1, \quad x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \times 2} = -\frac{3}{2}
   \]
3. La factorisation est donc :
   \[
   2x^2 + 5x + 3 = 2(x + 1)(x + \frac{3}{2}) = (2x + 3)(x + 1)
   \]

Veux-tu des détails ou as-tu des questions ?

Voici 5 questions pour aller plus loin :
1. Comment factoriser un trinôme avec un discriminant négatif ?
2. Quelle est la différence entre factorisation et résolution d'équation ?
3. Comment utiliser les identités remarquables dans la factorisation ?
4. Pourquoi le discriminant permet-il de savoir si un trinôme est factorisable ?
5. Comment factoriser un trinôme si ses coefficients sont fractionnaires ?

**Astuce** : Si le discriminant n'est pas un carré parfait, le trinôme n'est généralement pas factorisable avec des coefficients rationnels.

Learn how to factor a quadratic trinomial like ax^2 + bx + c with a detailed solution, including calculating the discriminant and finding real roots. This guide explains the discriminant method and covers common special cases. Suitable for Grades 9-12.

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