comment factoriser un trinôme du second degré ?

Pour factoriser un trinôme du second degré de la forme générale :

\[ ax^2 + bx + c \]

il existe plusieurs méthodes. Voici les étapes les plus courantes :

### 1. **Identifier les coefficients :**
   - \( a \) : coefficient de \( x^2 \)
   - \( b \) : coefficient de \( x \)
   - \( c \) : terme constant

### 2. **Calculer le discriminant (\( \Delta \)) :**
   Le discriminant est donné par la formule :
   \[
   \Delta = b^2 - 4ac
   \]
   Il nous permet de savoir si le trinôme est factorisable sur les réels.

   - Si \( \Delta > 0 \), le trinôme a deux solutions réelles distinctes, et il est factorisable sous forme de deux facteurs linéaires.
   - Si \( \Delta = 0 \), il y a une seule solution réelle, et le trinôme est factorisable sous forme d'un carré parfait.
   - Si \( \Delta < 0 \), le trinôme n'a pas de solution réelle, donc il n'est pas factorisable dans \( \mathbb{R} \) (mais peut l’être dans \( \mathbb{C} \)).

### 3. **Trouver les racines (si \( \Delta \geq 0 \)) :**
   Les racines \( x_1 \) et \( x_2 \) sont données par :
   \[
   x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
   \]

### 4. **Factorisation :**
   - Si \( \Delta > 0 \) : le trinôme se factorise sous la forme :
     \[
     a(x - x_1)(x - x_2)
     \]
   - Si \( \Delta = 0 \) : le trinôme se factorise sous la forme :
     \[
     a(x - x_1)^2
     \]
     
### 5. **Cas particuliers :**
   - **Trinôme de la forme \( x^2 + bx + c \)** : il est possible d’utiliser la méthode du produit-somme, qui consiste à trouver deux nombres dont le produit est égal à \( a \times c \) et la somme égale à \( b \).
   - **Formule de factorisation directe** (si c’est un carré parfait) : \( ax^2 + 2abx + b^2 \) peut être factorisé en \( (ax + b)^2 \).

#### Exemple :
Soit le trinôme \( 2x^2 - 4x - 6 \).

1. Coefficients : \( a = 2 \), \( b = -4 \), \( c = -6 \)
2. Discriminant :
   \[
   \Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64
   \]
   Ici, \( \Delta > 0 \), donc il y a deux racines réelles.
3. Racines :
   \[
   x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \times 2} = \frac{4 + 8}{4} = 3
   \]
   \[
   x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \times 2} = \frac{4 - 8}{4} = -1
   \]
4. Factorisation :
   \[
   2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)
   \]

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

### Questions supplémentaires :
1. Comment factoriser un trinôme lorsque le discriminant est nul ?
2. Comment appliquer la méthode produit-somme pour factoriser un trinôme sans discriminant ?
3. Que faire si le trinôme est un carré parfait ?
4. Quelles sont les étapes de factorisation quand \( a = 1 \) ?
5. Comment interpréter graphiquement la factorisation d'un trinôme du second degré ?

**Tip :** Toujours vérifier si le trinôme peut être simplifié avant de commencer la factorisation.

Learn how to factor a quadratic trinomial ax^2 + bx + c using the discriminant and quadratic formula. This step-by-step solution covers key algebraic concepts, including solving for roots and factorization. Suitable for students in Grades 9-11.

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