Pour factoriser un trinôme du second degré de la forme générale :

$ax^2 + bx + c$

il existe plusieurs méthodes. Voici les étapes les plus courantes :

1. Identifier les coefficients :

• $a$ : coefficient de $x^2$
• $b$ : coefficient de $x$
• $c$ : terme constant

2. Calculer le discriminant ($\Delta$) :

Le discriminant est donné par la formule : $\Delta = b^2 - 4ac$ Il nous permet de savoir si le trinôme est factorisable sur les réels.

• Si $\Delta > 0$, le trinôme a deux solutions réelles distinctes, et il est factorisable sous forme de deux facteurs linéaires.
• Si $\Delta = 0$, il y a une seule solution réelle, et le trinôme est factorisable sous forme d'un carré parfait.
• Si $\Delta < 0$, le trinôme n'a pas de solution réelle, donc il n'est pas factorisable dans $\mathbb{R}$ (mais peut l’être dans $\mathbb{C}$).

3. Trouver les racines (si $\Delta \geq 0$) :

Les racines $x_1$ et $x_2$ sont données par : $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

4. Factorisation :

• Si $\Delta > 0$ : le trinôme se factorise sous la forme : $a(x - x_1)(x - x_2)$
• Si $\Delta = 0$ : le trinôme se factorise sous la forme : $a(x - x_1)^2$

5. Cas particuliers :

• Trinôme de la forme $x^2 + bx + c$ : il est possible d’utiliser la méthode du produit-somme, qui consiste à trouver deux nombres dont le produit est égal à $a \times c$ et la somme égale à $b$.
• Formule de factorisation directe (si c’est un carré parfait) : $ax^2 + 2abx + b^2$ peut être factorisé en $(ax + b)^2$.

Exemple :

Soit le trinôme $2x^2 - 4x - 6$.

1. Coefficients : $a = 2$, $b = -4$, $c = -6$
2. Discriminant : $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64$ Ici, $\Delta > 0$, donc il y a deux racines réelles.
3. Racines : $x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \times 2} = \frac{4 + 8}{4} = 3$ $x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \times 2} = \frac{4 - 8}{4} = -1$
4. Factorisation : $2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$

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Questions supplémentaires :

1. Comment factoriser un trinôme lorsque le discriminant est nul ?
2. Comment appliquer la méthode produit-somme pour factoriser un trinôme sans discriminant ?
3. Que faire si le trinôme est un carré parfait ?
4. Quelles sont les étapes de factorisation quand $a = 1$ ?
5. Comment interpréter graphiquement la factorisation d'un trinôme du second degré ?

Tip : Toujours vérifier si le trinôme peut être simplifié avant de commencer la factorisation.