Para determinar si la ecuación diferencial $x \, \mathrm{d}y + (x + y) \, \mathrm{d}x = (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}y$ es homogénea, necesitamos expresar la ecuación en términos de $t x$ y $t y$, y verificar si es homogénea. Recordemos que una ecuación diferencial es homogénea si se puede expresar como una función de la razón $y/x$ o si todas las funciones involucradas tienen el mismo grado de homogeneidad.

1. Reescribimos la ecuación diferencial: Si despejamos el término que multiplica a $\mathrm{d}y$ y el que multiplica a $\mathrm{d}x$, tenemos: $x \, \mathrm{d}y + (x + y) \, \mathrm{d}x = (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}y.$

2. Simplificamos la ecuación: Al dividir ambos lados de la ecuación por $\mathrm{d}y$, obtenemos una ecuación en términos de $x$ y $y$: $x + (x + y) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = x^2 + y^2.$

3. Sustituimos $x = t x$ y $y = t y$: Si una ecuación diferencial es homogénea, al hacer esta sustitución, podemos factorizar el término $t$ y cancelar para obtener una expresión independiente de $t$. Sustituyendo $x = t x$ y $y = t y$, tenemos: $x \rightarrow t x, \quad y \rightarrow t y.$ Sustituyendo en la ecuación obtenemos: $t x + \left(t x + t y\right) \frac{\mathrm{d}(t x)}{\mathrm{d}(t y)} = t^2 x^2 + t^2 y^2.$

4. Factorizamos $t$: Observamos que en ambos lados, los términos son del mismo grado (grado 2 en $t$), lo que confirma que la ecuación es homogénea.

Conclusión: La ecuación es homogénea porque al realizar la sustitución de $x \rightarrow t x$ y $y \rightarrow t y$, todos los términos de la ecuación resultante son del mismo grado en $t$, cumpliendo con la condición para que sea homogénea.

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5. ¿Cómo se aplican las sustituciones de variables en otros tipos de ecuaciones?

Consejo: Al verificar la homogeneidad, observa si la ecuación permite que todas las expresiones tengan un factor común al aplicar sustituciones con $t$. Esto simplifica el análisis.