A(-2; 3; -1) B(0; 4; 1) C(1; 5; -3) D(-1; 2; 4) найти высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на грань ABC:



Чтобы найти высоту тетраэдра, опущенную из вершины \( D \) на грань \( ABC \), нужно выполнить следующие шаги:

1. **Найти векторное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \)**, чтобы определить нормальный вектор плоскости \( ABC \).
   
   Вектор \( \overrightarrow{AB} = (0 - (-2); 4 - 3; 1 - (-1)) = (2; 1; 2) \).
   
   Вектор \( \overrightarrow{AC} = (1 - (-2); 5 - 3; -3 - (-1)) = (3; 2; -2) \).
   
   Векторное произведение \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \) равно:
   \[
   \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 
   \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
   2 & 1 & 2 \\
   3 & 2 & -2 \\
   \end{vmatrix} = (1 \cdot (-2) - 2 \cdot 2) \mathbf{i} - (2 \cdot (-2) - 2 \cdot 3) \mathbf{j} + (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \mathbf{k} 
   = (-6; 2; 1).
   \]
   
   Получили нормальный вектор плоскости \( ABC \): \( \overrightarrow{n} = (-6; 2; 1) \).

2. **Найти уравнение плоскости \( ABC \)**.
   
   Уравнение плоскости имеет вид \( -6x + 2y + z + D = 0 \).
   
   Подставим координаты точки \( A(-2; 3; -1) \) в уравнение для определения \( D \):
   \[
   -6(-2) + 2 \cdot 3 + (-1) + D = 0,
   \]
   \[
   12 + 6 - 1 + D = 0,
   \]
   \[
   D = -17.
   \]
   
   Уравнение плоскости \( ABC \): \( -6x + 2y + z - 17 = 0 \).

3. **Вычислить расстояние от точки \( D(-1; 2; 4) \) до плоскости \( ABC \)**. Это и будет высота, опущенная из вершины \( D \) на грань \( ABC \).

   Формула расстояния от точки \( (x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \):
   \[
   d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
   \]
   
   Подставим значения:
   \[
   d = \frac{|-6 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 4 - 17|}{\sqrt{(-6)^2 + 2^2 + 1^2}}.
   \]
   
   \[
   d = \frac{|6 + 4 + 4 - 17|}{\sqrt{36 + 4 + 1}} = \frac{|-3|}{\sqrt{41}} = \frac{3}{\sqrt{41}}.
   \]

   Ответ: высота тетраэдра, опущенная из вершины \( D \) на грань \( ABC \), равна \( \frac{3}{\sqrt{41}} \).

Если у вас есть вопросы или нужна дополнительная информация, дайте знать.

**Вопросы для расширения понимания:**

1. Как найти объем тетраэдра по его вершинам?
2. Каковы особенности использования векторного произведения в геометрических задачах?
3. Можно ли определить угол между гранями тетраэдра?
4. Какая формула используется для нахождения расстояния от точки до плоскости?
5. Как проверить, лежат ли точки на одной плоскости?

**Совет:** В задачах с тетраэдрами и объемными фигурами удобно сначала работать с векторами, чтобы упрощать вычисления.

A(-2; 3; -1) B(0; 4; 1) C(1; 5; -3) D(-1; 2; 4) найти высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на грань ABC

This solution shows how to find the height of a tetrahedron from vertex D to face ABC using concepts from vector algebra and analytic geometry. It covers the calculation of the cross product, plane equation, and point-to-plane distance formula. Suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation