Masalah ini melibatkan perpindahan panas dari air panas dalam sebuah silinder yang bagian atas dan bawahnya diisolasi, sehingga perpindahan panas hanya terjadi melalui selimut (permukaan samping) silinder. Kita diminta untuk menyusun persamaan diferensial yang menggambarkan penurunan suhu air di dalam silinder seiring waktu akibat perpindahan panas ke udara sekitarnya.

Mari kita uraikan langkah-langkahnya:

Langkah 1: Menentukan Hukum Perpindahan Panas

Dari soal, perpindahan panas $Q$ dari air ke udara diberikan oleh: $Q = u A (T - T_u)$ di mana:

• $u$ adalah koefisien perpindahan panas (konduktivitas),
• $A$ adalah luas permukaan silinder,
• $T$ adalah suhu air di dalam silinder (sebagai fungsi waktu),
• $T_u$ adalah suhu udara luar (konstan).

Langkah 2: Prinsip Konservasi Energi

Energi panas yang hilang dari air sama dengan laju perubahan energi internal air di dalam silinder. Energi internal air dapat dihitung sebagai: $E = m c T$ di mana:

• $m$ adalah massa air,
• $c$ adalah kapasitas panas jenis air,
• $T$ adalah suhu air (fungsi waktu).

Laju perubahan energi internal seiring waktu adalah: $\frac{dE}{dt} = m c \frac{dT}{dt}$

Menurut hukum konservasi energi, laju perubahan energi internal ini sama dengan negatif dari laju perpindahan panas ke udara. Jadi: $m c \frac{dT}{dt} = - Q$

Substitusikan $Q = u A (T - T_u)$ ke dalam persamaan ini: $m c \frac{dT}{dt} = - u A (T - T_u)$

Langkah 3: Menyusun Persamaan Diferensial

Sekarang kita dapat menyusun persamaan diferensial yang menggambarkan penurunan suhu air: $m c \frac{dT}{dt} = - u A (T - T_u)$ atau, dalam bentuk yang lebih sederhana: $\frac{dT}{dt} = - \frac{u A}{m c} (T - T_u)$

Langkah 4: Menyelesaikan Persamaan Diferensial

Ini adalah persamaan diferensial linier orde pertama yang dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel. Pisahkan variabel-variabel $T$ dan $t$: $\frac{dT}{T - T_u} = - \frac{u A}{m c} dt$

Integrasikan kedua sisi: $\int \frac{dT}{T - T_u} = - \frac{u A}{m c} \int dt$

Hasil integrasinya adalah: $\ln |T - T_u| = - \frac{u A}{m c} t + C$ di mana $C$ adalah konstanta integrasi.

Untuk menyelesaikan $T$, kita ambil eksponensial dari kedua sisi: $|T - T_u| = e^{- \frac{u A}{m c} t + C} = e^C e^{- \frac{u A}{m c} t}$

Sebut $e^C = K$, maka: $T - T_u = K e^{- \frac{u A}{m c} t}$

Gunakan kondisi awal, yaitu pada $t = 0$, $T = T_0$: $T_0 - T_u = K$

Jadi, kita dapatkan: $K = T_0 - T_u$

Sehingga solusi akhirnya adalah: $T(t) = T_u + (T_0 - T_u) e^{- \frac{u A}{m c} t}$

Kesimpulan:

Suhu air di dalam silinder sebagai fungsi waktu diberikan oleh: $T(t) = T_u + (T_0 - T_u) e^{- \frac{u A}{m c} t}$ Ini menunjukkan bahwa suhu air $T$ akan mendekati suhu udara $T_u$ seiring waktu, dengan kecepatan pendinginan yang bergantung pada parameter $u$, $A$, $m$, dan $c$.

Pertanyaan Tambahan:

1. Bagaimana jika koefisien perpindahan panas $u$ berubah seiring waktu?
2. Bagaimana pengaruh perubahan kapasitas panas jenis $c$ terhadap solusi?
3. Bagaimana jika silinder tidak diisolasi pada bagian atas dan bawah?
4. Bisakah kita menyertakan resistansi termal untuk bahan penyusun dinding silinder?
5. Bagaimana efek dari variasi suhu udara luar $T_u$ terhadap solusi?

Tip: Pastikan untuk memahami prinsip perpindahan panas dan bagaimana faktor-faktor seperti luas permukaan dan kapasitas panas mempengaruhi laju pendinginan suatu sistem.