We hebben twee vergelijkingen die de temperatuurverandering van de melk $M(t)$ en het water $W(t)$ beschrijven:

1. $\frac{dM}{dt} = k_1 (W - M)$
2. $\frac{dW}{dt} = -k_2 (W - M)$

We willen het evenwicht berekenen, waarbij de temperatuur van zowel de melk als het water $37^\circ C$ is.

Stap 1: Evenwicht bereiken Bij evenwicht is de verandering in temperatuur van zowel de melk als het water gelijk aan nul. Dit betekent dat $\frac{dM}{dt} = 0$ en $\frac{dW}{dt} = 0$.

Dus, we stellen de afgeleiden gelijk aan nul:

$\frac{dM}{dt} = k_1 (W - M) = 0$

$\frac{dW}{dt} = -k_2 (W - M) = 0$

Deze vergelijkingen impliceren dat:

$W - M = 0$

Ofwel:

$W = M$

Stap 2: Substitutie in de vergelijkingen Nu we weten dat $W = M$ op het moment van evenwicht, kunnen we dit in de oorspronkelijke vergelijkingen vervangen.

Voor $\frac{dM}{dt} = k_1 (W - M)$ krijgen we:

$\frac{dM}{dt} = k_1 (M - M) = 0$

Evenzo voor $\frac{dW}{dt} = -k_2 (W - M)$ krijgen we:

$\frac{dW}{dt} = -k_2 (M - M) = 0$

Dit bevestigt dat er geen verandering in temperatuur is wanneer $W = M$. Het systeem heeft een steady state bereikt, wat betekent dat de temperatuur van zowel de melk als het water constant blijft op dat moment.

Stap 3: Wat is de temperatuur? Bij evenwicht moet de temperatuur van zowel de melk als het water gelijk zijn aan 37°C, omdat we gedefinieerd hebben dat $M(t) - 37$ en $W(t) - 37$ de afwijkingen van de temperatuur zijn ten opzichte van 37°C.

Dus, bij het evenwicht:

$M = W = 37^\circ C$

Conclusie: Er is inderdaad een evenwicht bij $M = W = 37^\circ C$, omdat de afgeleiden van beide temperaturen nul zijn wanneer $W = M$. De melk en het water bereiken dan beide een temperatuur van 37°C, en er vindt geen verdere temperatuurverandering plaats.

---

Vragen om verder te verkennen:

1. Hoe zou de snelheid van temperatuurverandering veranderen als de waarden van $k_1$ en $k_2$ veranderen?
2. Wat gebeurt er als de begincondities voor de melk en het water ver van 37°C liggen? Hoe verandert de tijd om het evenwicht te bereiken?
3. Wat is het effect op het evenwicht als de omgevingstemperatuur (bijvoorbeeld lucht) anders is dan 37°C?
4. Hoe zou je de vergelijking voor $M(t)$ of $W(t)$ oplossen als je specifieke beginvoorwaarden hebt, zoals $M(0)$ of $W(0)$?
5. Wat zijn de implicaties van het hebben van verschillende waardes voor $k_1$ en $k_2$ met betrekking tot de efficiëntie van warmteoverdracht?

Tip:

Bij het werken met dergelijke dynamische systemen kan het handig zijn om numerieke simulaties of grafische methoden te gebruiken om de tijdsevolutie van $M(t)$ en $W(t)$ te visualiseren, vooral als de analytische oplossing complex is.