Suatu silinder berisi air panas mula-mula suhunya To, bagian atas dan bawah silinder diisolasi (anggap perpindahan panas hanya dari selimut silnder). Suhu udara Tu, perpindahan panas dari air ke udara Q = uA(T-Tu). Susun persamaan diferensial yang mewakili kasus ini dan selesaikan.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan menyusun persamaan diferensial yang menggambarkan proses perpindahan panas dari air panas di dalam silinder ke udara di sekitarnya.

### Langkah-langkah:

1. **Definisi Variabel:**
   - \( T(t) \): Suhu air di dalam silinder sebagai fungsi waktu \( t \).
   - \( T_u \): Suhu udara di luar silinder, konstan.
   - \( T_0 \): Suhu awal air pada \( t = 0 \).
   - \( u \): Koefisien perpindahan panas (konduktivitas termal).
   - \( A \): Luas permukaan silinder yang bersentuhan dengan udara luar.
   - \( m \): Massa air di dalam silinder.
   - \( c \): Kapasitas kalor air (konstan).

2. **Hukum Konservasi Energi:**
   Perubahan energi di dalam silinder sebanding dengan laju perpindahan panas keluar silinder. Energi yang ada dalam air disimpan dalam bentuk energi kalor, dan dapat berubah seiring dengan perubahan suhu.

   Rumus perubahan energi di dalam silinder:
   \[
   \frac{dQ}{dt} = mc \frac{dT}{dt}
   \]
   Rumus perpindahan panas dari air ke udara:
   \[
   \frac{dQ}{dt} = uA (T(t) - T_u)
   \]

3. **Persamaan Diferensial:**
   Dengan menyamakan kedua persamaan di atas:
   \[
   mc \frac{dT(t)}{dt} = -uA (T(t) - T_u)
   \]
   Di mana tanda negatif menunjukkan bahwa panas berpindah dari air yang lebih panas ke udara yang lebih dingin (suhu menurun).

   Persamaan diferensial ini bisa ditulis ulang sebagai:
   \[
   \frac{dT(t)}{dt} = -\frac{uA}{mc} (T(t) - T_u)
   \]

4. **Penyelesaian Persamaan Diferensial:**
   Persamaan ini adalah persamaan diferensial linear dengan pemisahan variabel. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

   Pisahkan variabel \( T(t) \) dan \( t \):
   \[
   \frac{dT(t)}{T(t) - T_u} = -\frac{uA}{mc} dt
   \]
   
   Integrasikan kedua sisi:
   \[
   \int \frac{1}{T(t) - T_u} dT(t) = -\frac{uA}{mc} \int dt
   \]
   
   Hasil integrasi:
   \[
   \ln |T(t) - T_u| = -\frac{uA}{mc} t + C
   \]
   
   Di mana \( C \) adalah konstanta integrasi.

5. **Menentukan Konstanta Integrasi:**
   Pada \( t = 0 \), suhu air adalah \( T_0 \), sehingga:
   \[
   \ln |T_0 - T_u| = C
   \]
   Jadi:
   \[
   C = \ln |T_0 - T_u|
   \]

6. **Persamaan Umum:**
   Masukkan kembali nilai konstanta \( C \) ke dalam persamaan:
   \[
   \ln |T(t) - T_u| = -\frac{uA}{mc} t + \ln |T_0 - T_u|
   \]
   
   Eksponensial kedua sisi untuk menghilangkan logaritma:
   \[
   |T(t) - T_u| = |T_0 - T_u| e^{-\frac{uA}{mc} t}
   \]
   
   Karena suhu \( T(t) \) selalu lebih besar dari \( T_u \), kita dapat menghilangkan tanda mutlak:
   \[
   T(t) - T_u = (T_0 - T_u) e^{-\frac{uA}{mc} t}
   \]

7. **Solusi Akhir:**
   Suhu air sebagai fungsi waktu adalah:
   \[
   T(t) = T_u + (T_0 - T_u) e^{-\frac{uA}{mc} t}
   \]

### Penjelasan Solusi:
- Pada \( t = 0 \), suhu air adalah \( T_0 \).
- Seiring waktu \( t \to \infty \), suhu air mendekati \( T_u \), yang merupakan suhu udara di luar.
- Laju pendinginan tergantung pada koefisien perpindahan panas \( u \), luas permukaan \( A \), massa air \( m \), dan kapasitas kalor \( c \).

### Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau ada pertanyaan lain?  
Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana koefisien perpindahan panas \( u \) mempengaruhi laju pendinginan?
2. Bagaimana perubahan luas permukaan silinder \( A \) mempengaruhi suhu akhir air?
3. Bagaimana jika \( T_u \) berubah seiring waktu, bagaimana memodifikasi persamaan ini?
4. Bagaimana pengaruh massa air \( m \) terhadap waktu pendinginan?
5. Bagaimana jika ada sumber panas internal di dalam silinder, bagaimana memodelkan perubahan suhunya?

**Tip:** Dalam sistem perpindahan panas, pengurangan isolasi pada permukaan dapat mempercepat laju perpindahan panas.

Learn how to solve a differential equation representing heat transfer in an insulated cylindrical system. This problem demonstrates key concepts in heat transfer and differential equations, using formulas such as mc(dT/dt) = -uA(T(t) - Tu) and applying Newton's Law of Cooling. Suitable for undergraduate physics and engineering students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation