1. Проверка гармоничности функции $v(x, y)$

Функция $v(x, y)$ является гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа:

$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$

Вычислим частные производные:

$\frac{\partial v}{\partial x} = 1 + 3y$

$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial y} = 2 + 3x$

$\frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$

Сумма вторых производных:

$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0 + 0 = 0$

Следовательно, функция $v(x, y)$ действительно гармоническая.

---

2. Восстановление аналитической функции $f(z)$

Ищем аналитическую функцию $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$.
Так как $f(z)$ аналитическая, то её действительная и мнимая части должны удовлетворять уравнениям Коши–Римана:

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

Мы уже нашли производные $v(x,y)$:

$\frac{\partial v}{\partial y} = 2 + 3x, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 1 + 3y$

По уравнениям Коши–Римана:

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2 + 3x$

Интегрируем по $x$:

$u(x, y) = 2x + \frac{3}{2}x^2 + g(y)$

Далее:

$\frac{\partial u}{\partial y} = g'(y)$

$-\frac{\partial v}{\partial x} = -(1 + 3y) = -1 - 3y$

Следовательно,

$g'(y) = -1 - 3y$

Интегрируем по $y$:

$g(y) = -y - \frac{3}{2}y^2 + C$

Итак,

$u(x, y) = 2x + \frac{3}{2}x^2 - y - \frac{3}{2}y^2 + C$

Значит, аналитическая функция:

$f(z) = u(x,y) + i v(x,y) = \left(2x + \frac{3}{2}x^2 - y - \frac{3}{2}y^2 + C \right) + i(x + 2y + 3xy)$

Теперь выразим через $z = x + iy$, используя $x = \frac{z + \bar{z}}{2}$ и $y = \frac{z - \bar{z}}{2i}$:

$f(z) = \frac{3}{2} x^2 + 2x - \frac{3}{2} y^2 - y + C + i (x + 2y + 3xy)$

Выразим через $z$:

$f(z) = \frac{3}{2} z^2 + 2z + C$

---

Ответ:

Функция $f(z)$ имеет вид:

$f(z) = \frac{3}{2}z^2 + 2z + C$

Где $C$ – произвольная комплексная константа.

---

Хотите подробнее разобрать какие-то шаги?

Дополнительные вопросы для размышления:

1. Как доказать, что другая функция является гармонической?
2. Как найти аналитическую функцию, если дана её действительная часть $u(x, y)$?
3. Как проверить, что найденная функция $f(z)$ действительно аналитическая?
4. Как определить, какое значение должна иметь константа $C$ в данной задаче?
5. Какие еще свойства у аналитических функций связаны с уравнением Лапласа?

Полезный совет:

Если дана гармоническая функция $v(x,y)$, можно легко восстановить её сопряжённую функцию $u(x,y)$ с помощью уравнений Коши–Римана.