Math Problem Statement
. Zadatak 2. Dokazati da je skup G = {1,3,5,7,9,11,13,15} klasa ostataka po modulu 16 oblika qini grupu u odnosu na mno enje x·y = x · y. Odrediti sve podgrupe grupe G.
Solution
Rešenje:
Da bismo dokazali da je grupa u odnosu na množenje modula , moramo proveriti sledeće uslove:
- Zatvorenost: Za svaka , .
- Asocijativnost: Za sve , .
- Postojanje jedinice: Mora postojati element tako da za svaki .
- Postojanje inverza: Za svako , mora postojati tako da .
1. Zatvorenost
Izračunajmo proizvod svih elemenata modula da bismo videli da li rezultat pripada skupu :
Za , svi rezultati modula ostaju unutar skupa . To možemo proveriti direktnim računanjem:
Primer:
- (pripada ),
- (pripada ).
Ovaj princip važi za sve , tako da je skup zatvoren.
2. Asocijativnost
Operacija množenja modula je uvek asocijativna, jer je to svojstvo množenja celih brojeva. Dakle:
3. Postojanje jedinice
Element iz skupa je neutralni element za množenje, jer:
Dakle, je jedinica.
4. Postojanje inverza
Proverimo da li za svaki postoji tako da:
Na primer:
- Za , nađimo : . Rešenje je (jer ).
- Za , nađimo : . Rešenje je .
Slično se pokazuje za ostale elemente skupa . Dakle, svaki element ima inverz.
Zaključak:
Skup je grupa u odnosu na množenje modula .
Podgrupe grupe
Za određivanje svih podgrupa, koristimo Lagrangeov teorem: red podgrupe mora deliti red grupe. Red grupe je . Moguće veličine podgrupa su .
- Trivijalna podgrupa: .
- Podgrupe reda : .
- Podgrupe reda :
- .
- Cela grupa: sama.
Sve podgrupe mogu se proveriti računanjem.
Pitanja za proširenje:
- Kako se uopšteno određuju inverzi u modularnim grupama?
- Možete li pokazati detaljne korake za proveru podgrupa?
- Kako se Lagrangeov teorem koristi u analizi grupa?
- Šta znači da grupa mora biti zatvorena prema operaciji?
- Kako klasifikovati sve abelove grupe reda ?
Savet: Koristite tablicu množenja da biste lakše pratili zatvorenost
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Group Theory
Modular Arithmetic
Subgroups
Formulas
x · y mod n = z
Inverse element: x · y ≡ 1 mod n
Theorems
Group Closure
Associativity Property
Existence of Identity Element
Existence of Inverse Element
Lagrange's Theorem
Suitable Grade Level
Undergraduate Mathematics
Related Recommendation
Proof of Group Structure for G = {1,3,5,7,9,11,13,15} under Modular Multiplication Modulo 16
Order of the Element 7 in the Multiplicative Group of 16
Group U(15) under Multiplication Modulo 15: Order, Element Order, and Subgroups
Understanding the Group U(15): Order, Cyclic Subgroups, and Normal Subgroups
Understanding the Multiplicative Group Z16