Rešenje:

Da bismo dokazali da je $G = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\}$ grupa u odnosu na množenje modula $16$, moramo proveriti sledeće uslove:

1. Zatvorenost: Za svaka $x, y \in G$, $x \cdot y \mod 16 \in G$.
2. Asocijativnost: Za sve $x, y, z \in G$, $(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$.
3. Postojanje jedinice: Mora postojati element $e \in G$ tako da $e \cdot x \equiv x \mod 16$ za svaki $x \in G$.
4. Postojanje inverza: Za svako $x \in G$, mora postojati $y \in G$ tako da $x \cdot y \equiv 1 \mod 16$.

---

1. Zatvorenost

Izračunajmo proizvod svih elemenata modula $16$ da bismo videli da li rezultat pripada skupu $G$:

$x, y \in G \quad \text{i} \quad x \cdot y \mod 16.$

Za $x, y \in G$, svi rezultati modula $16$ ostaju unutar skupa $G$. To možemo proveriti direktnim računanjem:

Primer:

• $3 \cdot 5 = 15 \mod 16 = 15$ (pripada $G$),
• $7 \cdot 13 = 91 \mod 16 = 11$ (pripada $G$).

Ovaj princip važi za sve $x, y \in G$, tako da je skup zatvoren.

---

2. Asocijativnost

Operacija množenja modula $16$ je uvek asocijativna, jer je to svojstvo množenja celih brojeva. Dakle:

$(x \cdot y) \cdot z \equiv x \cdot (y \cdot z) \mod 16.$

---

3. Postojanje jedinice

Element $1$ iz skupa $G$ je neutralni element za množenje, jer:

$1 \cdot x \equiv x \cdot 1 \equiv x \mod 16 \quad \text{za svaki } x \in G.$

Dakle, $1$ je jedinica.

---

4. Postojanje inverza

Proverimo da li za svaki $x \in G$ postoji $y \in G$ tako da:

$x \cdot y \equiv 1 \mod 16.$

Na primer:

• Za $x = 3$, nađimo $y$: $3 \cdot y \equiv 1 \mod 16$. Rešenje je $y = 11$ (jer $3 \cdot 11 = 33 \equiv 1 \mod 16$).
• Za $x = 5$, nađimo $y$: $5 \cdot y \equiv 1 \mod 16$. Rešenje je $y = 13$.

Slično se pokazuje za ostale elemente skupa $G$. Dakle, svaki element ima inverz.

---

Zaključak:

Skup $G$ je grupa u odnosu na množenje modula $16$.

---

Podgrupe grupe $G$

Za određivanje svih podgrupa, koristimo Lagrangeov teorem: red podgrupe mora deliti red grupe. Red grupe $G$ je $8$. Moguće veličine podgrupa su $1, 2, 4, 8$.

1. Trivijalna podgrupa: $\{1\}$.
2. Podgrupe reda $2$: $\{1, 9\}$.
3. Podgrupe reda $4$:
   • $\{1, 3, 9, 11\}$.
4. Cela grupa: $G$ sama.

Sve podgrupe mogu se proveriti računanjem.

---

Pitanja za proširenje:

1. Kako se uopšteno određuju inverzi u modularnim grupama?
2. Možete li pokazati detaljne korake za proveru podgrupa?
3. Kako se Lagrangeov teorem koristi u analizi grupa?
4. Šta znači da grupa mora biti zatvorena prema operaciji?
5. Kako klasifikovati sve abelove grupe reda $8$?

Savet: Koristite tablicu množenja da biste lakše pratili zatvorenost