Math Problem Statement

Leandro elige un número natural n y hace lo siguiente: calcula a=n2+5; calcula b=(n+1)2+5; halla el máximo común divisor entre a y b y anota dicho máximo común divisor en el pizarrón. ¿Cuál es el número más grande que puede anotar? Llegué hasta que su MCD divide a 2n+1, puedo aplicar AMGM en algún lado?

Solution

El problema que has planteado involucra una secuencia de operaciones con un número natural nn y la búsqueda del máximo común divisor entre dos expresiones definidas en términos de nn. Vamos a analizarlo paso a paso, considerando tu avance hasta que el MCD divide a 2n+12n+1, y luego veremos si se puede aplicar la desigualdad aritmético-geométrica (AM-GM).

1. Expresiones de aa y bb

Se nos dan las siguientes definiciones: a=n2+5a = n^2 + 5 b=(n+1)2+5=n2+2n+1+5=n2+2n+6b = (n+1)^2 + 5 = n^2 + 2n + 1 + 5 = n^2 + 2n + 6

Queremos hallar el máximo común divisor de aa y bb, es decir, gcd(a,b)\gcd(a, b).

2. Diferencia entre aa y bb

Una estrategia útil para encontrar el MCD entre dos números es considerar su diferencia, ya que:

ba=(n2+2n+6)(n2+5)=2n+1b - a = (n^2 + 2n + 6) - (n^2 + 5) = 2n + 1

Esto nos dice que: gcd(a,b)(ba)=2n+1\gcd(a, b) \mid (b - a) = 2n + 1 Es decir, el MCD de aa y bb divide a 2n+12n + 1. Ahora nuestra tarea es encontrar cuál es el valor más grande que puede tener este MCD, sabiendo que debe ser un divisor de 2n+12n + 1.

3. Observación sobre aa

Ya que a=n2+5a = n^2 + 5, tenemos: gcd(a,b)a=n2+5\gcd(a, b) \mid a = n^2 + 5 Esto nos indica que el MCD debe dividir tanto 2n+12n+1 como n2+5n^2 + 5. Así que ahora estamos buscando el mayor divisor común de 2n+12n+1 y n2+5n^2+5.

4. Relación general

Un truco común en este tipo de problemas es analizar la estructura de n2+5n^2 + 5 y n2+2n+6n^2 + 2n + 6, y ver si tienen algún divisor común en términos de nn. A partir de nuestra observación anterior, dado que gcd(a,b)2n+1\gcd(a, b) \mid 2n+1, el MCD debe ser un divisor de cualquier valor específico que tome 2n+12n+1.

Podemos probar con valores pequeños de nn para obtener una conjetura.

  • Si n=0n = 0, tenemos a=02+5=5a = 0^2 + 5 = 5 y b=(0+1)2+5=6b = (0+1)^2 + 5 = 6, entonces gcd(5,6)=1\gcd(5, 6) = 1.
  • Si n=1n = 1, tenemos a=12+5=6a = 1^2 + 5 = 6 y b=(1+1)2+5=10b = (1+1)^2 + 5 = 10, entonces gcd(6,10)=2\gcd(6, 10) = 2.
  • Si n=2n = 2, tenemos a=22+5=9a = 2^2 + 5 = 9 y b=(2+1)2+5=14b = (2+1)^2 + 5 = 14, entonces gcd(9,14)=1\gcd(9, 14) = 1.
  • Si n=3n = 3, tenemos a=32+5=14a = 3^2 + 5 = 14 y b=(3+1)2+5=21b = (3+1)^2 + 5 = 21, entonces gcd(14,21)=7\gcd(14, 21) = 7.

Podemos observar que el mayor valor que puede aparecer es 77, lo cual ocurre cuando n=3n = 3.

5. Conclusión

El número más grande que Leandro puede anotar en el pizarrón es 77, que ocurre cuando n=3n = 3.

¿Podemos aplicar AM-GM aquí?

No parece que la desigualdad AM-GM (Aritmético-Geométrica) tenga una aplicación directa en este problema, ya que no estamos lidiando con una desigualdad, sino más bien con una relación algebraica que involucra el máximo común divisor de dos números definidos por polinomios. La estrategia de trabajar con la diferencia entre aa y bb y explorar divisores fue la clave en este caso.

Preguntas Relacionadas

  1. ¿Cómo afecta el valor de nn al valor del MCD entre aa y bb?
  2. ¿Qué sucede si en lugar de sumar 5, se suma otro número constante en la definición de aa y bb?
  3. ¿Podemos encontrar una fórmula general para el MCD en términos de nn?
  4. ¿Hay otros métodos, además de la diferencia, que nos permitan hallar el MCD de aa y bb?
  5. ¿Cómo cambia la solución si en lugar de n2n^2 usamos otra potencia, como n3n^3?

Tip

Siempre que quieras encontrar el MCD de dos expresiones algebraicas, una buena estrategia es examinar su diferencia, ya que esto reduce la complejidad del problema.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Number Theory
Greatest Common Divisor (GCD)
Algebraic Manipulation

Formulas

a = n^2 + 5
b = (n+1)^2 + 5 = n^2 + 2n + 6
GCD(a, b) divides (b - a) = 2n + 1

Theorems

Properties of GCD
GCD and Polynomial Relations

Suitable Grade Level

Grades 10-12