El problema que has planteado involucra una secuencia de operaciones con un número natural $n$ y la búsqueda del máximo común divisor entre dos expresiones definidas en términos de $n$. Vamos a analizarlo paso a paso, considerando tu avance hasta que el MCD divide a $2n+1$, y luego veremos si se puede aplicar la desigualdad aritmético-geométrica (AM-GM).

1. Expresiones de $a$ y $b$

Se nos dan las siguientes definiciones: $a = n^2 + 5$ $b = (n+1)^2 + 5 = n^2 + 2n + 1 + 5 = n^2 + 2n + 6$

Queremos hallar el máximo común divisor de $a$ y $b$, es decir, $\gcd(a, b)$.

2. Diferencia entre $a$ y $b$

Una estrategia útil para encontrar el MCD entre dos números es considerar su diferencia, ya que:

$b - a = (n^2 + 2n + 6) - (n^2 + 5) = 2n + 1$

Esto nos dice que: $\gcd(a, b) \mid (b - a) = 2n + 1$ Es decir, el MCD de $a$ y $b$ divide a $2n + 1$. Ahora nuestra tarea es encontrar cuál es el valor más grande que puede tener este MCD, sabiendo que debe ser un divisor de $2n + 1$.

3. Observación sobre $a$

Ya que $a = n^2 + 5$, tenemos: $\gcd(a, b) \mid a = n^2 + 5$ Esto nos indica que el MCD debe dividir tanto $2n+1$ como $n^2 + 5$. Así que ahora estamos buscando el mayor divisor común de $2n+1$ y $n^2+5$.

4. Relación general

Un truco común en este tipo de problemas es analizar la estructura de $n^2 + 5$ y $n^2 + 2n + 6$, y ver si tienen algún divisor común en términos de $n$. A partir de nuestra observación anterior, dado que $\gcd(a, b) \mid 2n+1$, el MCD debe ser un divisor de cualquier valor específico que tome $2n+1$.

Podemos probar con valores pequeños de $n$ para obtener una conjetura.

• Si $n = 0$, tenemos $a = 0^2 + 5 = 5$ y $b = (0+1)^2 + 5 = 6$, entonces $\gcd(5, 6) = 1$.
• Si $n = 1$, tenemos $a = 1^2 + 5 = 6$ y $b = (1+1)^2 + 5 = 10$, entonces $\gcd(6, 10) = 2$.
• Si $n = 2$, tenemos $a = 2^2 + 5 = 9$ y $b = (2+1)^2 + 5 = 14$, entonces $\gcd(9, 14) = 1$.
• Si $n = 3$, tenemos $a = 3^2 + 5 = 14$ y $b = (3+1)^2 + 5 = 21$, entonces $\gcd(14, 21) = 7$.

Podemos observar que el mayor valor que puede aparecer es $7$, lo cual ocurre cuando $n = 3$.

5. Conclusión

El número más grande que Leandro puede anotar en el pizarrón es $7$, que ocurre cuando $n = 3$.

¿Podemos aplicar AM-GM aquí?

No parece que la desigualdad AM-GM (Aritmético-Geométrica) tenga una aplicación directa en este problema, ya que no estamos lidiando con una desigualdad, sino más bien con una relación algebraica que involucra el máximo común divisor de dos números definidos por polinomios. La estrategia de trabajar con la diferencia entre $a$ y $b$ y explorar divisores fue la clave en este caso.

Preguntas Relacionadas

1. ¿Cómo afecta el valor de $n$ al valor del MCD entre $a$ y $b$?
2. ¿Qué sucede si en lugar de sumar 5, se suma otro número constante en la definición de $a$ y $b$?
3. ¿Podemos encontrar una fórmula general para el MCD en términos de $n$?
4. ¿Hay otros métodos, además de la diferencia, que nos permitan hallar el MCD de $a$ y $b$?
5. ¿Cómo cambia la solución si en lugar de $n^2$ usamos otra potencia, como $n^3$?

Tip

Siempre que quieras encontrar el MCD de dos expresiones algebraicas, una buena estrategia es examinar su diferencia, ya que esto reduce la complejidad del problema.