Para graficar la función proporcionada en la imagen, que es:

$C(t) = \frac{25t}{t^2 + 4}$

a continuación te explico los pasos:

1. Identificar el dominio de la función

La función está definida para todos los valores de $t \geq 0$ (ya que el enunciado lo menciona). Por lo tanto, $t$ puede tomar cualquier valor positivo o cero.

2. Analizar la forma de la función

La función $C(t)$ tiene la forma de una función racional, es decir, un cociente entre un polinomio de grado 1 (en el numerador) y un polinomio de grado 2 (en el denominador). Esto implica que:

• $C(t)$ tendrá un máximo o un punto de inflexión, que sería importante para el gráfico.
• No existen asíntotas verticales, ya que el denominador nunca será igual a cero (debido a la constante 4).

3. Evaluar algunos puntos clave

Podemos empezar evaluando la función en algunos valores de $t$ para observar el comportamiento de la curva:

• $C(0) = \frac{25(0)}{0^2 + 4} = 0$
• $C(1) = \frac{25(1)}{1^2 + 4} = \frac{25}{5} = 5$
• $C(2) = \frac{25(2)}{2^2 + 4} = \frac{50}{8} = 6.25$
• $C(5) = \frac{25(5)}{5^2 + 4} = \frac{125}{29} \approx 4.31$

Esto nos da una idea de cómo se comporta la función para algunos valores de $t$.

4. Observar el límite cuando $t \to \infty$

Al observar el comportamiento de la función para valores grandes de $t$, el numerador crece linealmente mientras que el denominador crece cuadráticamente. Esto sugiere que:

$\lim_{t \to \infty} C(t) = 0$

Es decir, la función tiende a 0 conforme $t$ se vuelve muy grande.

5. Utilizar una herramienta tecnológica para graficar

Puedes usar herramientas como Desmos, GeoGebra, Wolfram Alpha, o una calculadora gráfica para representar visualmente esta función. A continuación te doy los pasos para hacerlo en GeoGebra:

1. Abre GeoGebra (puedes usar la versión web en geogebra.org).
2. En la barra de entrada, escribe la función: $C(t) = \frac{25t}{t^2 + 4}$
3. Presiona Enter y observa cómo se grafica la curva en el plano de coordenadas.

6. Análisis gráfico

• La gráfica empezará en el origen $(0, 0)$, subirá hasta un máximo en algún punto cercano a $t = 2$ y luego empezará a descender lentamente hacia cero conforme $t$ aumenta.

Si necesitas más detalles o tienes alguna duda, no dudes en preguntarme.

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5. ¿Cómo puedo identificar los puntos de inflexión de una función racional?

Tip: La derivada de una función te permite encontrar puntos críticos y máximos de una curva.