https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726665957078ps97iu6w.jpg

Para graficar la función proporcionada en la imagen, que es:

\[
C(t) = \frac{25t}{t^2 + 4}
\]

a continuación te explico los pasos:

### 1. **Identificar el dominio de la función**
   La función está definida para todos los valores de \(t \geq 0\) (ya que el enunciado lo menciona). Por lo tanto, \(t\) puede tomar cualquier valor positivo o cero.

### 2. **Analizar la forma de la función**
   La función \( C(t) \) tiene la forma de una **función racional**, es decir, un cociente entre un polinomio de grado 1 (en el numerador) y un polinomio de grado 2 (en el denominador). Esto implica que:
   - \( C(t) \) tendrá un máximo o un punto de inflexión, que sería importante para el gráfico.
   - No existen asíntotas verticales, ya que el denominador nunca será igual a cero (debido a la constante 4).

### 3. **Evaluar algunos puntos clave**
   Podemos empezar evaluando la función en algunos valores de \(t\) para observar el comportamiento de la curva:
   
   - \( C(0) = \frac{25(0)}{0^2 + 4} = 0 \)
   - \( C(1) = \frac{25(1)}{1^2 + 4} = \frac{25}{5} = 5 \)
   - \( C(2) = \frac{25(2)}{2^2 + 4} = \frac{50}{8} = 6.25 \)
   - \( C(5) = \frac{25(5)}{5^2 + 4} = \frac{125}{29} \approx 4.31 \)

   Esto nos da una idea de cómo se comporta la función para algunos valores de \(t\).

### 4. **Observar el límite cuando \(t \to \infty\)**
   Al observar el comportamiento de la función para valores grandes de \(t\), el numerador crece linealmente mientras que el denominador crece cuadráticamente. Esto sugiere que:

   \[
   \lim_{t \to \infty} C(t) = 0
   \]

   Es decir, la función tiende a 0 conforme \(t\) se vuelve muy grande.

### 5. **Utilizar una herramienta tecnológica para graficar**
   Puedes usar herramientas como **Desmos**, **GeoGebra**, **Wolfram Alpha**, o una calculadora gráfica para representar visualmente esta función. A continuación te doy los pasos para hacerlo en **GeoGebra**:

   1. Abre **GeoGebra** (puedes usar la versión web en [geogebra.org](https://www.geogebra.org)).
   2. En la barra de entrada, escribe la función:
      \[
      C(t) = \frac{25t}{t^2 + 4}
      \]
   3. Presiona Enter y observa cómo se grafica la curva en el plano de coordenadas.

### 6. **Análisis gráfico**
   - La gráfica empezará en el origen \( (0, 0) \), subirá hasta un máximo en algún punto cercano a \(t = 2\) y luego empezará a descender lentamente hacia cero conforme \(t\) aumenta.

Si necesitas más detalles o tienes alguna duda, no dudes en preguntarme.

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo determinar el valor máximo de la función?
2. ¿Cómo influye el término cuadrático en el denominador en el comportamiento de la función?
3. ¿Qué sucede con la función si cambiamos el coeficiente en el numerador?
4. ¿Cómo se puede encontrar la pendiente de la curva en un punto específico?
5. ¿Cómo puedo identificar los puntos de inflexión de una función racional?

**Tip:** La derivada de una función te permite encontrar puntos críticos y máximos de una curva.

Explica cómo graficar la función C(t) = 25t / (t^2 + 4) relacionada con la concentración de un fármaco en el cuerpo.

Learn how to graph the rational function C(t) = 25t / (t^2 + 4), representing the concentration of a drug over time. The function's behavior, limits, and key points are analyzed step-by-step. Suitable for students in Grades 10-12.

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