https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/17268112761353e094x30.jpg

La función dada es:

\[
f(x) = \frac{3}{2x+1}
\]

Para graficar esta función racional, sigamos estos pasos:

### 1. **Encontrar las asíntotas**:
   - **Asíntota vertical**: Se encuentra cuando el denominador es igual a 0. Entonces, resolvemos:
     \[
     2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}
     \]
     Por lo tanto, la asíntota vertical es en \( x = -\frac{1}{2} \).

   - **Asíntota horizontal**: Para encontrarla, analizamos el comportamiento de la función cuando \( x \to \infty \) o \( x \to -\infty \). Ya que el grado del denominador es mayor que el del numerador, la asíntota horizontal es \( y = 0 \).

### 2. **Determinar algunos puntos**:
   Ahora, podemos calcular algunos valores de \( f(x) \) para diferentes valores de \( x \), para dibujar la gráfica.

   - Cuando \( x = 0 \):
     \[
     f(0) = \frac{3}{2(0) + 1} = 3
     \]
     Así que \( (0, 3) \) es un punto.

   - Cuando \( x = 1 \):
     \[
     f(1) = \frac{3}{2(1) + 1} = 1
     \]
     Así que \( (1, 1) \) es otro punto.

   - Cuando \( x = -1 \):
     \[
     f(-1) = \frac{3}{2(-1) + 1} = -3
     \]
     Así que \( (-1, -3) \) es otro punto.

### 3. **Esbozar la gráfica**:
   - Dibuja la asíntota vertical en \( x = -\frac{1}{2} \).
   - Dibuja la asíntota horizontal en \( y = 0 \).
   - Coloca los puntos \( (0, 3) \), \( (1, 1) \), y \( (-1, -3) \).
   - Esboza la curva que se aproxima a las asíntotas, pasando por los puntos calculados.

Si necesitas más detalles o ayuda con la gráfica interactiva, avísame.

---

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afectan las asíntotas el comportamiento de la gráfica de una función racional?
2. ¿Qué ocurre con la gráfica de \( f(x) = \frac{3}{2x+1} \) en valores extremos de \( x \)?
3. ¿Cómo se modifica la gráfica si cambiamos el coeficiente del numerador?
4. ¿Por qué la función tiene una asíntota horizontal en \( y = 0 \)?
5. ¿Cómo afecta el signo del coeficiente en el numerador al comportamiento de la gráfica?

**Tip**: Recuerda que las asíntotas son límites que la gráfica nunca cruza, pero a los que se aproxima infinitamente.

Trazar el gráfico de la función racional f(x) = 3 / (2x + 1).

Learn how to graph the rational function f(x) = 3 / (2x + 1), including finding vertical and horizontal asymptotes, determining key points, and sketching the curve. This topic covers key concepts in rational functions and asymptote behavior, suitable for Grades 10-12.

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