La función dada es:

$f(x) = \frac{3}{2x+1}$

Para graficar esta función racional, sigamos estos pasos:

1. Encontrar las asíntotas:

• Asíntota vertical: Se encuentra cuando el denominador es igual a 0. Entonces, resolvemos: $2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$ Por lo tanto, la asíntota vertical es en $x = -\frac{1}{2}$.

• Asíntota horizontal: Para encontrarla, analizamos el comportamiento de la función cuando $x \to \infty$ o $x \to -\infty$. Ya que el grado del denominador es mayor que el del numerador, la asíntota horizontal es $y = 0$.

2. Determinar algunos puntos:

Ahora, podemos calcular algunos valores de $f(x)$ para diferentes valores de $x$, para dibujar la gráfica.

• Cuando $x = 0$: $f(0) = \frac{3}{2(0) + 1} = 3$ Así que $(0, 3)$ es un punto.

• Cuando $x = 1$: $f(1) = \frac{3}{2(1) + 1} = 1$ Así que $(1, 1)$ es otro punto.

• Cuando $x = -1$: $f(-1) = \frac{3}{2(-1) + 1} = -3$ Así que $(-1, -3)$ es otro punto.

3. Esbozar la gráfica:

• Dibuja la asíntota vertical en $x = -\frac{1}{2}$.
• Dibuja la asíntota horizontal en $y = 0$.
• Coloca los puntos $(0, 3)$, $(1, 1)$, y $(-1, -3)$.
• Esboza la curva que se aproxima a las asíntotas, pasando por los puntos calculados.

Si necesitas más detalles o ayuda con la gráfica interactiva, avísame.

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afectan las asíntotas el comportamiento de la gráfica de una función racional?
2. ¿Qué ocurre con la gráfica de $f(x) = \frac{3}{2x+1}$ en valores extremos de $x$?
3. ¿Cómo se modifica la gráfica si cambiamos el coeficiente del numerador?
4. ¿Por qué la función tiene una asíntota horizontal en $y = 0$?
5. ¿Cómo afecta el signo del coeficiente en el numerador al comportamiento de la gráfica?

Tip: Recuerda que las asíntotas son límites que la gráfica nunca cruza, pero a los que se aproxima infinitamente.