आइए, एक-एक करके इन सवालों को हल करते हैं:

4. ∆ABC में AB = 5 सेमी, AC = 4 सेमी और CE = 6 सेमी, BD की लंबाई और ∆ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

यहां दिए गए मानों से हम त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल और BD की लंबाई निकालने की कोशिश करेंगे। अधिक जानकारी के लिए, हमें यह स्पष्ट करना होगा कि CE और BD किस तरह से जुड़े हैं, क्योंकि यह सामान्यतः समांतर रेखाओं या त्रिकोण की विशेषताओं से संबंधित हो सकता है। यदि CE और BD समांतर रेखाएं हैं, तो हम समांतर रेखाओं के गुणों का उपयोग करेंगे।

5. ∆ABC में समकोण त्रिभुज है, जहाँ ∠A = 90° है। AB = 5 सेमी, AC = 12 सेमी, और BC = 13 सेमी है। AD की लंबाई ज्ञात करें।

यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है (Pythagoras Theorem), इसलिए हम इसका उपयोग करके AD की लंबाई निकाल सकते हैं।

हम जानते हैं कि:

$AB^2 + AC^2 = BC^2$ यहाँ: $5^2 + 12^2 = 13^2$ $25 + 144 = 169$ यह सही है, इसलिए BC = 13 सेमी सही है। अब, अगर AD के बारे में जानकारी दी गई हो, तो हम उसे निकाल सकते हैं। AD की लंबाई के लिए हमें यह भी देखना होगा कि AD त्रिभुज में किस तरह से जुड़ी हुई है (यह आधार हो सकता है या किसी विशेष रेखा के रूप में).

6. आयत ABCD में DC = 14 सेमी और BC = 12 सेमी। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

आयत का क्षेत्रफल निकालने के लिए, हम सामान्यत: क्षेत्रफल का सूत्र $Area = Length \times Breadth$ का उपयोग करते हैं।

यहाँ, $\text{क्षेत्रफल} = DC \times BC = 14 \, \text{सेमी} \times 12 \, \text{सेमी} = 168 \, \text{सेमी}^2$

इसमें छायांकित भाग का क्षेत्रफल तब ही निकाला जा सकता है यदि उस भाग का आकार स्पष्ट हो, जैसे कि किसी एक क्षेत्र को घटाना या जोड़ना हो।

7. ∆ABC में, BC = 4 सेमी, AC = 8 सेमी और AE = 3 सेमी। त्रिभुज का क्षेत्रफल और लंबाई ज्ञात करें।

यदि AE त्रिभुज ABC का ऊँचाई है, तो हम त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाल सकते हैं:

$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ यहाँ, $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times BC \times AE = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \, \text{सेमी}^2$

8. एक त्रिभुजाकार मैदान के आधार की लंबाई ऊँचाई की तिगुनी है। यदि 25 रुपये प्रति हेक्टेयर की दर से मैदान को समतल करने का खर्च 337.50 रुपये है, तो आधार और ऊँचाई की लंबाई ज्ञात करें।

यहां, हम पहले क्षेत्रफल का हिसाब करेंगे:

$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\text{खर्च}}{\text{दर}} = \frac{337.50}{25} = 13.5 \, \text{हेक्टेयर}$

1 हेक्टेयर = 10,000 वर्ग मीटर के बराबर होता है, तो:

$13.5 \, \text{हेक्टेयर} = 13.5 \times 10,000 = 135,000 \, \text{वर्ग मीटर}$

अब, हम जानते हैं कि आधार और ऊँचाई की लंबाई का अनुपात 3:1 है, तो:

$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$

मान लीजिए आधार = 3x और ऊँचाई = x, तो:

$\frac{1}{2} \times 3x \times x = 135,000$ $\frac{3x^2}{2} = 135,000$ $x^2 = 90,000 \quad \Rightarrow \quad x = 300$

इसलिए, ऊँचाई = 300 मीटर और आधार = 900 मीटर।

---

क्या आप इनमें से किसी समस्या के बारे में और जानकारी चाहते हैं या कोई विशेष प्रश्न है?

यहां 5 और संबंधित प्रश्न दिए गए हैं:

1. त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल समकोण त्रिभुज के रूप में कैसे निकाला जा सकता है?
2. Pythagoras Theorem का उपयोग किस प्रकार किया जाता है त्रिकोणों में?
3. समांतर रेखाओं के गुण क्या होते हैं और इनका क्षेत्रफल पर क्या प्रभाव होता है?
4. एक आयत के छायांकित भाग का क्षेत्रफल कैसे निकाला जाता है?
5. Hectare और वर्ग मीटर के बीच का अंतर क्या है और इनका उपयोग कैसे करते हैं?

टिप: त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा आधे आधार और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है, यह एक आसान और महत्वपूर्ण सूत्र है!