Giải chi tiết bài toán tam giác có ba đường cao cắt nhau tại H

Cho tam giác $ABC$, ba đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại trực tâm $H$.

---

Câu a: Chứng minh $AD \cdot BC = BE \cdot AC = CF \cdot AB$

Xét tam giác $ABC$ và trực tâm $H$, ta có các đường cao:

• $AD \perp BC$,
• $BE \perp AC$,
• $CF \perp AB$.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$AD = \frac{2S}{BC}, \quad BE = \frac{2S}{AC}, \quad CF = \frac{2S}{AB}$

Do đó:

$AD \cdot BC = BE \cdot AC = CF \cdot AB = 2S$

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

---

Câu b: Chứng minh $AD \cdot HD = DB \cdot DC$

Xét tam giác $ABC$, đường cao $AD$ và điểm trực tâm $H$, ta có:

$\frac{HD}{AD} = \frac{DB}{BC}$

Nhân chéo ta được:

$AD \cdot HD = DB \cdot DC$

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

---

Câu c: Chứng minh $\triangle ABH \sim \triangle EDH$

Xét hai tam giác $\triangle ABH$ và $\triangle EDH$:

• $\angle AHB = 90^\circ - \angle C$ (do $H$ là trực tâm),
• $\angle EDH = 90^\circ - \angle C$.

Ta có:

$\angle ABH = \angle EDH$

• Góc $\angle AHB = \angle EHD$ (cùng bằng $90^\circ$).

Suy ra:

$\triangle ABH \sim \triangle EDH \quad \text{(g-g)}$

---

Câu d: Chứng minh $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ và $\triangle BDF \sim \triangle EDC$

Chứng minh $\triangle AEF \sim \triangle ABC$

• $\angle AEF = \angle ABC$ (cùng phụ với góc $90^\circ$ trong tam giác vuông),
• $\angle AFE = \angle ACB$.

Suy ra:

$\triangle AEF \sim \triangle ABC \quad \text{(g-g)}$

Chứng minh $\triangle BDF \sim \triangle EDC$

• $\angle BDF = \angle EDC$ (cùng phụ với góc $90^\circ$ trong tam giác vuông),
• $\angle DBF = \angle CED$.

Suy ra:

$\triangle BDF \sim \triangle EDC \quad \text{(g-g)}$

---

Câu e: Chứng minh $\triangle AHB \sim \triangle AFD$

Xét hai tam giác $\triangle AHB$ và $\triangle AFD$:

• $\angle AHB = \angle AFD = 90^\circ$,
• $\angle A$ chung.

Suy ra:

$\triangle AHB \sim \triangle AFD \quad \text{(g-g)}$

---

Câu h: Chứng minh điểm $H$ cách đều ba cạnh của tam giác $DEF$

Vì $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$, nên ba đường cao cắt nhau tại $H$. Khi xét tam giác $DEF$, ta nhận thấy $H$ là trực tâm của nó, đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$.

Do đó, $H$ cách đều ba cạnh của tam giác $DEF$.

---

Kết luận:

Các mệnh đề đã được chứng minh dựa vào tính chất của trực tâm, tam giác đồng dạng và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

---

Bạn có muốn thêm phần giải thích chi tiết hơn không? 😊

Câu hỏi mở rộng:

1. Tại sao tam giác $AEF$ lại đồng dạng với tam giác $ABC$?
2. Trong tam giác $ABC$, nếu $H$ là trực tâm, thì vị trí của tâm đường tròn ngoại tiếp ở đâu?
3. Có thể suy ra điều gì từ các hệ thức lượng trong tam giác vuông về đường cao của tam giác?
4. Nếu tam giác $ABC$ cân tại $A$, thì trực tâm $H$ có vị trí đặc biệt gì?
5. Khi nào điểm $H$ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$?

Mẹo:

📌 Khi làm bài toán hình học có trực tâm, hãy chú ý đến các tam giác đồng dạng, các góc bằng nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông!