我们来求解这个几何问题，详细计算如下：

已知条件：

1. $\triangle ABC$ 为直角三角形，$\angle ABC = 90^\circ$。
2. $AB = 1$, $BC = 2\sqrt{2}$, $AC = 3$。
3. ∠BAC 的平分线交 BC 于 $D$，从 $D$ 做 AC 的垂线交 AC 于 $E$。

求解：

1. 使用角平分线定理求 $BD$ 和 $DC$

角平分线定理：$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.$ 代入 $AB = 1$，$AC = 3$，得： $\frac{BD}{DC} = \frac{1}{3}.$ 设 $BD = x$，则 $DC = 3x$。由 $BD + DC = BC = 2\sqrt{2}$，得： $x + 3x = 2\sqrt{2},$ $4x = 2\sqrt{2},$ $x = \frac{\sqrt{2}}{2}.$ 因此，$BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$DC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。

2. 确定点 $D$ 的坐标

将 $B(0, 0)$，$C(2\sqrt{2}, 0)$，设 $D(x, 0)$。因为 $BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$DC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$，我们有： $x = BD = \frac{\sqrt{2}}{2}.$ 所以 $D\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$。

3. 确定 $AD$ 的长度

根据角平分线性质，角平分线将对应角分成两部分，并满足： $AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC.$ 代入 $AB = 1$，$AC = 3$，$BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$DC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$，计算： $AD^2 = 1 \cdot 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}.$ $AD^2 = 3 - \frac{6}{4}.$ $AD^2 = 3 - 1.5 = 1.5.$ $AD = \sqrt{1.5} = \frac{\sqrt{6}}{2}.$

4. 求 $DE$ 的长度

$D$ 到 $AC$ 的垂线长度 $DE$ 可由三角形的面积公式计算。三角形 $\triangle ABC$ 的面积为： $\text{面积} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2}.$ 同理，面积也等于： $\text{面积} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DE.$ 代入 $AC = 3$，解 $DE$： $\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot DE.$ $DE = \frac{\sqrt{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$

5. 结果汇总

• $BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
• $AD = \frac{\sqrt{6}}{2}$,
• $DE = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

如果有疑问或者需要详细步骤，请随时告诉我！

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五个相关问题：

1. 如何证明角平分线定理在直角三角形中的应用？
2. 如果 $AC$ 的长度变化，如何重新计算 $D$ 的位置？
3. 如何从三角形面积推导 $DE$ 的公式？
4. 当 $D$ 不在角平分线上时，如何重新定义问题？
5. 角平分线与中线在直角三角形中有何关系？

一个小提示：

在几何问题中，善用对称性和基本定理（如角平分线定理、相似三角形）可以显著简化计算！