Để giải bài toán hình học này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng ý.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, với $AB < AC$, đường cao $AH$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = AB$. Gọi $DM$ vuông góc với $AH$.

a) Chứng minh $DM = AH$

Ta có:

• $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$, vuông góc với cạnh $BC$ tại điểm $H$.
• Gọi $DM$ vuông góc với $AH$, ta cần chứng minh $DM = AH$.

Chứng minh:

• Vì $DM \perp AH$ và $AH \perp BC$, hai đoạn thẳng $DM$ và $AH$ đều vuông góc với đường thẳng $BC$. Do đó, $DM$ song song với $AH$ và chúng có chiều dài bằng nhau do điểm $D$ được đặt sao cho $AD = AB$, nghĩa là tam giác $ADM$ có tính chất đối xứng.

Vậy, $DM = AH$.

---

b) Vẽ đường thẳng $DK$ vuông góc với $CH$. Chứng minh tam giác $AHK$ vuông cân.

Ta vẽ đường thẳng $DK$ vuông góc với $CH$, cắt $CH$ tại điểm $K$.

Chứng minh:

• Vì $DK \perp CH$, tam giác $AHK$ vuông tại $H$.

• Để chứng minh tam giác $AHK$ vuông cân, ta cần chứng minh rằng $AH = HK$.

• Trong tam giác vuông $AHK$, ta xét hai đoạn thẳng $AH$ và $HK$ đều là đường cao từ đỉnh của tam giác vuông đối với cạnh đối diện. Hơn nữa, do cách dựng điểm $K$ sao cho $DK \perp CH$, hai cạnh này bằng nhau, từ đó suy ra tam giác $AHK$ vuông cân.

Vậy, tam giác $AHK$ vuông cân.

---

c) Gọi $I$ là trung điểm của $BD$. Chứng minh $HI$ là tia phân giác của góc $\angle AHK$.

Chứng minh:

• Ta có $I$ là trung điểm của $BD$, do đó đoạn $BI = DI$.

• Xét tam giác $BDI$, với $HI$ là đường trung trực của đoạn $BD$, đồng thời $HI$ cũng vuông góc với $BD$.

• Do đó, $HI$ chia góc $\angle AHK$ thành hai phần bằng nhau, tức là $HI$ là tia phân giác của góc $\angle AHK$.

---

Câu hỏi mở rộng:

1. Nếu tam giác $ABC$ không phải là tam giác vuông thì kết luận nào vẫn đúng?
2. Có cách nào khác để chứng minh $DM = AH$ mà không dựa vào đối xứng không?
3. Vì sao tam giác $AHK$ lại là tam giác vuông cân trong mọi trường hợp?
4. Tia phân giác $HI$ có thể được xác định mà không cần tính toán không?
5. Làm thế nào để xác định trung điểm $I$ một cách nhanh chóng trên hình vẽ?

---

Mẹo:

Khi làm bài toán hình học có liên quan đến tam giác vuông, hãy luôn chú ý đến các tính chất đối xứng và định lý Pythagoras để giúp chứng minh các đoạn thẳng hoặc góc.