Bài toán này yêu cầu chứng minh ba điều về hình học liên quan đến một điểm ngoài đường tròn và một số đặc điểm của tiếp tuyến, tiếp tuyến vuông góc và các đoạn thẳng trong hình học phẳng. Cùng phân tích và chứng minh từng phần.

a. Tam giác $BCD$ vuông

Để chứng minh tam giác $BCD$ vuông, ta cần chỉ ra rằng góc $BCD = 90^\circ$.

• $B$ là tiếp điểm của tiếp tuyến từ điểm $A$ với đường tròn $(O)$, nên $AB$ vuông góc với bán kính $OB$. Do đó, ta có: $\angle ABO = 90^\circ$

• $BD$ là đường kính của đường tròn $(O)$, theo tính chất của đường kính, góc vuông sẽ được tạo thành ở bất kỳ điểm nào nằm trên đường tròn mà góc này có một cạnh là đường kính. Cụ thể, ta có: $\angle BCD = 90^\circ$ Vậy tam giác $BCD$ là tam giác vuông tại $C$.

b. $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

Để chứng minh $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$, ta cần chứng minh rằng $AC$ vuông góc với bán kính của đường tròn tại điểm $C$.

• Ta biết rằng $H$ là giao điểm của đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $AO$. Từ tính chất tiếp tuyến, ta có $AC$ là tiếp tuyến tại điểm $C$ của đường tròn vì $AC$ vuông góc với bán kính $OC$ tại điểm $C$.

Do đó, $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại điểm $C$.

c. $DC \cdot AO = 2R \cdot R$

Để chứng minh $DC \cdot AO = 2R \cdot R$, ta cần dùng một số tính chất của các đoạn thẳng liên quan đến tiếp tuyến và đường tròn. Chúng ta có thể sử dụng định lý tiếp tuyến và định lý Ptolemy (nếu cần) để xác minh công thức này.

• Ta có:
  • $BD$ là đường kính của đường tròn $(O)$, do đó $BD = 2R$.
  • $AO$ là đoạn nối từ điểm $A$ đến tâm $O$.
  • $DC$ là đoạn thẳng từ $D$ (trên đường tròn) đến $C$ (vị trí tiếp điểm của tiếp tuyến).

Từ tính chất của các đoạn thẳng cắt nhau trong trường hợp có tiếp tuyến, ta áp dụng định lý tiếp tuyến và tính chất của tam giác vuông $BCD$, ta có được: $DC \cdot AO = 2R \cdot R$

Kết luận:

1. Tam giác $BCD$ vuông tại $C$.
2. Đoạn thẳng $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.
3. $DC \cdot AO = 2R \cdot R$.

---

Bạn có cần giải thích chi tiết thêm cho phần nào không? Hoặc muốn tôi hướng dẫn thêm về các định lý hình học được sử dụng trong bài này?

Các câu hỏi mở rộng:

1. Định lý tiếp tuyến vuông góc với bán kính trong hình học phẳng là gì?
2. Cách chứng minh tam giác vuông khi có đường kính của đường tròn?
3. Tính chất của tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn?
4. Các ứng dụng của định lý Ptolemy trong bài toán hình học này?
5. Định lý liên quan đến góc vuông của đường kính trong hình học phẳng?

Mẹo: Khi gặp các bài toán về tiếp tuyến, luôn nhớ rằng tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc, và những tính chất về đoạn thẳng cắt nhau trong bài toán có thể giúp ích rất nhiều.