Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ đến $BC$. Gọi $M, N$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên các cạnh $AB$ và $AC$.

Câu a) Chứng minh: Khoảng cách từ $M$ đến $AB$, $AC$ bằng nhau.

Giải:

1. Nhận xét hình học:

   • Tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$, tức là $AB = AC$.
   • $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ đến $BC$, nghĩa là $AH \perp BC$.
   • $M$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$, tức là $HM \perp AB$.
   • $N$ là hình chiếu của $H$ lên $AC$, tức là $HN \perp AC$.

2. Định lý về khoảng cách trong tam giác cân: Vì tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$, đường vuông góc từ $H$ đến $BC$ chia $BC$ thành hai đoạn bằng nhau, do đó các điểm $M$ và $N$ có tính đối xứng qua đường phân giác $AH$.

3. Kết luận: Vì $M$ và $N$ có tính đối xứng qua đường phân giác $AH$, ta suy ra rằng khoảng cách từ $M$ đến $AB$ và từ $M$ đến $AC$ là bằng nhau.

Do đó, $M$ nằm trên đường trung trực của đoạn $AB$ và $AC$, nên khoảng cách từ $M$ đến $AB$ và từ $M$ đến $AC$ là bằng nhau.

Câu b) Chứng minh: Trên tia đối của tia $MH$, lấy $K$ sao cho $MH = MK$. Chứng minh rằng $AK$ vuông góc với $BK$.

Giải:

1. Hình học ban đầu: Tia đối của tia $MH$ là tia $HK$, và ta chọn điểm $K$ sao cho $MH = MK$.

2. Chứng minh $AK \perp BK$:

   • Vì $M$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$, ta có $HM \perp AB$.
   • Do $M$ và $K$ nằm trên đường phân giác của tam giác cân, ta có sự đối xứng qua $AH$. Điều này có nghĩa là, khi ta tạo ra điểm đối xứng $K$ của $M$ qua $H$, điểm $K$ sẽ tạo thành một tam giác vuông với $A$ và $B$, vì khi chiếu lên các cạnh đối diện, điểm $K$ sẽ tạo góc vuông với đoạn thẳng $BK$.

   Cụ thể, $AK \perp BK$ do sự đối xứng của các hình chiếu và cấu trúc hình học của tam giác cân.

Kết luận: $AK \perp BK$ được chứng minh.

---

Câu hỏi mở rộng:

1. Trong tam giác cân tại $A$, nếu $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ đến $BC$, thì tính chất đối xứng của tam giác này có ảnh hưởng như thế nào đến các hình chiếu?
2. Chứng minh rằng nếu $AB = AC$, thì đường phân giác $AH$ chia $BC$ thành hai đoạn bằng nhau.
3. Cách xác định vị trí các hình chiếu trong tam giác vuông có thể giúp ta giải quyết bài toán hình học như thế nào?
4. Mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác vuông góc có thể áp dụng như thế nào vào các bài toán về góc vuông trong hình học?
5. Tính chất đối xứng trong hình học phẳng giúp ích gì trong việc giải quyết các bài toán về tam giác vuông và tam giác cân?

Mẹo: Khi làm bài toán hình học với các hình chiếu và đường vuông góc, hãy chú ý đến tính chất đối xứng và các định lý về góc vuông, vì chúng có thể giúp bạn đơn giản hóa các chứng minh.