Chúng ta sẽ giải quyết bài toán này theo từng câu một.

Câu a: Chứng minh AM = CE và AM // CE

Giải:

1. Chứng minh AM = CE:

   • Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của đoạn $AB$ và $AC$, do đó:

     • $AM = MB$ (do $M$ là trung điểm của $AB$)
     • $AN = NC$ (do $N$ là trung điểm của $AC$)

   • Điểm $E$ được xác định trên tia đối của tia $NM$, sao cho $MN = EN$. Điều này cho thấy $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $ME$.

   • Vậy, ta có:

     • $MN = EN$, mà $M$ và $N$ đều nằm trên đoạn thẳng $AM$ và $AC$, ta suy ra $AM = CE$.

2. Chứng minh AM // CE:

   • Vì $M$ và $N$ là trung điểm của $AB$ và $AC$, ta có hình thang $AMNC$, với $MN \parallel AC$.
   • Ta đã biết rằng $M$ và $N$ nằm trên các cạnh của tam giác $ABC$, và $E$ được xác định sao cho $MN = EN$. Do đó, đoạn thẳng $AM$ song song với $CE$, tức là $AM \parallel CE$.

Câu b: Chứng minh ME = BC và ME // BC

Giải:

1. Chứng minh ME = BC:

   • Do $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$, và $E$ nằm trên tia đối của tia $NM$ sao cho $MN = EN$, ta có đoạn thẳng $ME$ có độ dài bằng với độ dài của $BC$.
   • Vì $N$ chia đoạn $ME$ thành hai đoạn bằng nhau, và đoạn $BC$ có độ dài bằng với đoạn $ME$ theo tính chất của các trung điểm trong tam giác.

2. Chứng minh ME // BC:

   • Ta đã có đoạn thẳng $ME$ và đoạn thẳng $BC$ đều song song với nhau, vì $AM \parallel CE$ và $AM$, $ME$ thuộc về các cặp đoạn thẳng song song trong tam giác.

Câu c: Chứng minh MN = 1/2 BC

Giải:

1. Do $M$ và $N$ là trung điểm của $AB$ và $AC$, nên đoạn $MN$ là đoạn nối hai trung điểm của hai cạnh trong tam giác $ABC$.

2. Tính chất của đoạn nối hai trung điểm trong tam giác là đoạn này song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa độ dài của cạnh đó.

   • Vì vậy, ta có: $MN = \frac{1}{2} BC$ Vậy ta đã chứng minh xong.

Tổng kết:

• Câu a: Chứng minh $AM = CE$ và $AM \parallel CE$.
• Câu b: Chứng minh $ME = BC$ và $ME \parallel BC$.
• Câu c: Chứng minh $MN = \frac{1}{2} BC$.

Nếu bạn có câu hỏi nào cần giải thích thêm, hoặc muốn xem chi tiết các bước, hãy cho tôi biết nhé!

---

Một số câu hỏi mở rộng:

1. Vì sao trong tam giác, đoạn nối hai trung điểm luôn song song với cạnh còn lại?
2. Tính chất nào của tam giác giúp chứng minh đoạn $MN$ bằng nửa chiều dài cạnh $BC$?
3. Làm sao để chứng minh tính song song của các đoạn thẳng trong các bài toán hình học?
4. Tại sao đoạn thẳng $ME$ lại có độ dài bằng $BC$?
5. Nếu tam giác ABC là tam giác vuông, các tính chất trên có thay đổi gì không?

Tip: Hãy chú ý đến các tính chất của trung điểm trong tam giác, vì chúng thường giúp ta giải quyết các bài toán hình học về tỷ lệ và song song một cách dễ dàng!