lungimea segmentului AB este egala cu 12 cm . punctul M este mijlocul segmentului Ab. aflati toate punctele x de pe dreapta AB , pentru care XA + XB + XM = 27

Dreapta \( AB \) are lungimea de 12 cm, iar punctul \( M \) este mijlocul acestui segment. Trebuie să aflăm toate punctele \( X \) de pe dreapta \( AB \) astfel încât \( XA + XB + XM = 27 \).

### Pasul 1: Notarea pozițiilor punctelor
Fie \( A \) poziționat la \( 0 \) cm pe dreapta, iar \( B \) la \( 12 \) cm (deoarece lungimea segmentului \( AB \) este 12 cm). Atunci, punctul \( M \), fiind mijlocul segmentului \( AB \), este situat la \( 6 \) cm de \( A \).

Fie \( X \) un punct de pe dreapta \( AB \) aflat la o distanță \( x \) față de \( A \). Așadar, coordonatele lui \( X \) pot fi:
- Dacă \( X \) este între \( A \) și \( B \), atunci \( 0 \leq x \leq 12 \).
- Dacă \( X \) este în afara intervalului \( AB \), atunci \( x \) poate fi fie \( x < 0 \) (în stânga lui \( A \)), fie \( x > 12 \) (în dreapta lui \( B \)).

### Pasul 2: Definirea distanțelor
- Distanța \( XA \) este \( |x - 0| = |x| \).
- Distanța \( XB \) este \( |x - 12| \).
- Distanța \( XM \) este \( |x - 6| \).

### Pasul 3: Ecuația dată
Ecuația problemei este:
\[
XA + XB + XM = 27
\]
Așadar, aceasta devine:
\[
|x| + |x - 12| + |x - 6| = 27
\]

### Pasul 4: Analizarea cazurilor pentru \( x \)

Pentru a rezolva această ecuație, trebuie să considerăm toate cazurile posibile în funcție de poziția lui \( X \) pe dreapta.

#### Cazul 1: \( x \in [0, 6] \)
În acest caz:
- \( |x| = x \),
- \( |x - 12| = 12 - x \),
- \( |x - 6| = 6 - x \).

Ecuația devine:
\[
x + (12 - x) + (6 - x) = 27
\]
\[
x + 12 - x + 6 - x = 27
\]
\[
18 - x = 27
\]
\[
x = -9
\]
Acest rezultat nu este valid, deoarece \( x \in [0, 6] \), deci nu putem avea \( x = -9 \) în acest interval.

#### Cazul 2: \( x \in [6, 12] \)
În acest caz:
- \( |x| = x \),
- \( |x - 12| = 12 - x \),
- \( |x - 6| = x - 6 \).

Ecuația devine:
\[
x + (12 - x) + (x - 6) = 27
\]
\[
x + 12 - x + x - 6 = 27
\]
\[
x + 6 = 27
\]
\[
x = 21
\]
Acest rezultat nu este valid, deoarece \( x \in [6, 12] \), deci nu putem avea \( x = 21 \).

#### Cazul 3: \( x > 12 \)
În acest caz:
- \( |x| = x \),
- \( |x - 12| = x - 12 \),
- \( |x - 6| = x - 6 \).

Ecuația devine:
\[
x + (x - 12) + (x - 6) = 27
\]
\[
x + x - 12 + x - 6 = 27
\]
\[
3x - 18 = 27
\]
\[
3x = 45
\]
\[
x = 15
\]

### Soluția finală
Deci, \( x = 15 \) este soluția. Punctul \( X \) se află la 15 cm pe dreapta \( AB \).

### Întrebări conexe:
1. Cum ar afecta problema dacă lungimea segmentului \( AB \) ar fi alta?
2. Cum se schimbă soluția dacă punctul \( M \) nu ar fi mijlocul segmentului?
3. Care ar fi soluțiile dacă suma \( XA + XB + XM \) ar fi diferită de 27?
4. Ce se întâmplă dacă punctul \( X \) este restricționat să fie doar între \( A \) și \( B \)?
5. Cum s-ar rezolva problema dacă am adăuga un alt punct pe segmentul \( AB \)?

### Sfat:
Întotdeauna consideră cazuri diferite pentru funcțiile cu valoare absolută, pentru a analiza corect fiecare situație.

Solve the geometry problem where the total distances XA + XB + XM equals 27, given a segment AB of 12 cm with midpoint M. This step-by-step solution explores key geometric concepts like absolute values and distance on a line, perfect for students in Grades 8-10.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation