Để giải bài toán này, chúng ta sẽ giải quyết từng câu một cách chi tiết. Để bắt đầu, chúng ta có tam giác ABC vuông tại A và các yếu tố khác được cho như sau:

1. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D.
2. Kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC).
3. K là giao điểm của DE và AB.

a) Chứng minh: $\angle ABD = \angle EBD$

Để chứng minh rằng $\angle ABD = \angle EBD$, ta sẽ sử dụng tính chất của tia phân giác góc và tính chất vuông góc.

• Tia BD là phân giác của góc $\angle ABC$, do đó, ta có: $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}.$
• Tia DE vuông góc với BC, nghĩa là $\angle CDE = 90^\circ$.

Ta sẽ áp dụng định lý góc ngoài tam giác: trong tam giác vuông $\triangle BCD$, ta có: $\angle ABD = \angle EBD.$ Bởi vì tia BD là phân giác và tia DE vuông góc với BC.

b) Chứng minh: $\triangle KDC$ cân

Để chứng minh rằng tam giác $\triangle KDC$ là tam giác cân, ta cần chứng minh rằng hai cạnh $KD$ và $KC$ bằng nhau.

• Gọi $K$ là giao điểm của DE và AB, ta có $DE \perp BC$ và $D$ là điểm trên AC.
• Tam giác $\triangle KDC$ có một số tính chất đặc biệt do vị trí của điểm D, E và K, do đó, các góc tại K và D sẽ tương ứng với nhau một cách đối xứng qua đoạn thẳng DC.

Chứng minh chi tiết yêu cầu xác định một số góc và áp dụng tính chất đối xứng của các tam giác vuông và cân trong hình vẽ.

c) Chứng minh: BH là đường trung trực của CK

Cuối cùng, để chứng minh rằng BH là đường trung trực của CK, ta sẽ dựa vào tính chất đối xứng và các góc vuông.

• Vì H là giao điểm của BD và CK, ta cần chứng minh rằng BH chia đoạn CK thành hai đoạn bằng nhau và vuông góc với CK.
• Điều này có thể chứng minh thông qua định lý về đường trung trực và sự đối xứng của tam giác.

---

Tóm lại, chúng ta đã đưa ra một hướng giải quyết cho từng câu hỏi. Bạn có muốn tôi giải thích chi tiết từng bước hoặc cần vẽ hình minh họa cho các bước này không?