Để tìm số hạng tổng quát của dãy số $u_1 = 2$, $u_{n+1} = 4u_n + 9$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Viết lại dãy số

Dãy số được cho bởi: $u_1 = 2$ $u_{n+1} = 4u_n + 9 \quad \text{với } n \geq 1.$

Bước 2: Giả sử dãy có dạng nghiệm $u_n = C\cdot 4^n + D$

Ta đặt: $u_n = C \cdot 4^n + D$ Thay vào công thức hồi quy: $u_{n+1} = 4u_n + 9 \implies C \cdot 4^{n+1} + D = 4(C \cdot 4^n + D) + 9$ Triển khai: $C \cdot 4^{n+1} + D = 4C \cdot 4^n + 4D + 9$ So sánh hệ số, ta được:

• Hệ số của $4^n$: $C \cdot 4 = 4C$, đúng với mọi $C$.
• Hệ số hằng số: $D = 4D + 9 \implies -3D = 9 \implies D = -3$.

Do đó, nghiệm tổng quát của dãy là: $u_n = C \cdot 4^n - 3$

Bước 3: Xác định $C$ từ điều kiện ban đầu

Sử dụng điều kiện $u_1 = 2$: $u_1 = C \cdot 4^1 - 3 = 2 \implies 4C - 3 = 2 \implies 4C = 5 \implies C = \frac{5}{4}.$

Kết quả:

Số hạng tổng quát của dãy số là: $u_n = \frac{5}{4} \cdot 4^n - 3.$

Bạn có câu hỏi hoặc muốn giải thích chi tiết hơn không?

Một số câu hỏi liên quan:

1. Làm thế nào để chứng minh công thức tổng quát này đúng với mọi $n$?
2. Nếu $u_1 = 3$, công thức tổng quát của dãy số sẽ thay đổi như thế nào?
3. Làm thế nào để tính tổng của $u_n$ từ $n = 1$ đến $n = k$?
4. Điều gì xảy ra nếu công thức hồi quy thay đổi thành $u_{n+1} = 4u_n - 9$?
5. Dãy số này có hội tụ hoặc phát triển vô hạn không?

Mẹo:

Khi gặp công thức hồi quy dạng $u_{n+1} = a u_n + b$, luôn thử đặt nghiệm dạng $u_n = C \cdot a^n + D$ để tìm công thức tổng quát.