Math Problem Statement

Aşağıdaki lineer denklem sistemini göz önünde bulundurun:

2.5 𝑥 1 − 3.4 𝑥 2 + 17.4 𝑥 3 − 6.7 𝑥 4 + 20 𝑥 5

𝑏 1 2.5x 1 ​ −3.4x 2 ​ +17.4x 3 ​ −6.7x 4 ​ +20x 5 ​ =b 1 ​

7 𝑥 1 − 3.2 𝑥 2 + 19.4 𝑥 3 + 5.7 𝑥 4 + 13 𝑥 5

𝑏 2 7x 1 ​ −3.2x 2 ​ +19.4x 3 ​ +5.7x 4 ​ +13x 5 ​ =b 2 ​

2.1 𝑥 1 + 14.4 𝑥 3 − 𝑥 4 + 11 𝑥 5

𝑏 3 2.1x 1 ​ +14.4x 3 ​ −x 4 ​ +11x 5 ​ =b 3 ​

8.99 𝑥 1 − 7.1 𝑥 2 + 2.6 𝑥 3 + 3.1 𝑥 4 + 𝑥 5

𝑏 4 8.99x 1 ​ −7.1x 2 ​ +2.6x 3 ​ +3.1x 4 ​ +x 5 ​ =b 4 ​

− 9.2 𝑥 1 + 19 𝑥 3 + 5 𝑥 4 + 20 𝑥 5

𝑏 5 −9.2x 1 ​ +19x 3 ​ +5x 4 ​ +20x 5 ​ =b 5 ​

Soru: Yukarıdaki denklem sisteminin tüm elemanlarının 1 olduğu bir çözüm vektörüne ( [ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ] [1,1,1,1,1]) sahip olduğu varsayılmaktadır. Verilen sistemi partial pivoting (kısmi pivotlama) yöntemi kullanarak Gaussian eliminasyonuyla çözün.

Yaklaşık çözümün hata değerini, doğru çözüm ile karşılaştırarak, sonuçları norm formatında hata değeri olarak hesaplayın.

Solution

Bu problemde, verilen lineer denklem sistemini çözmek için Gaussian eliminasyonunu partial pivoting (kısmi pivotlama) yöntemiyle uygulayacağız. Sonrasında, yaklaşık çözümün hata değerini, doğru çözüm olan [1,1,1,1,1][1, 1, 1, 1, 1] vektörüyle karşılaştırarak, çözüm hatasının normunu hesaplayacağız.


Adımlar:

  1. Denklem sistemi matris formunda ifade edilir: AX=BA \cdot X = B Burada AA, katsayılar matrisidir, X=[x1,x2,x3,x4,x5]TX = [x_1, x_2, x_3, x_4, x_5]^T, B=[b1,b2,b3,b4,b5]TB = [b_1, b_2, b_3, b_4, b_5]^T.

    Katsayılar matrisi AA ve sağ taraf vektörü BB aşağıdaki gibidir:

    2.5 & -3.4 & 17.4 & -6.7 & 20 \\ 7 & -3.2 & 19.4 & 5.7 & 13 \\ 2.1 & 0 & 14.4 & -1 & 11 \\ 8.99 & -7.1 & 2.6 & 3.1 & 1 \\ -9.2 & 0 & 19 & 5 & 20 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 50.8 \\ 42.9 \\ 26.5 \\ 9.59 \\ 34.8 \end{bmatrix}$$ Sağ taraf $$B$$, çözüm vektörünün $$[1, 1, 1, 1, 1]$$ olduğu varsayımıyla elde edilir: $$B = A \cdot [1, 1, 1, 1, 1]^T$$
  2. Partial Pivoting ve Gaussian Eliminasyonu uygulanır: Bu yöntemde:

    • Satır değişimleri yapılır ve en büyük mutlak değere sahip pivot elemanı seçilir.
    • Satır işlemleriyle AA matrisi üst üçgen bir matris (UU) haline getirilir.
    • Geriye doğru yerine koyma işlemiyle yaklaşık çözüm vektörü XX elde edilir.
  3. Hata Değeri (Norm) hesaplanır: Doğru çözüm vektörü [1,1,1,1,1][1, 1, 1, 1, 1] ile elde edilen yaklaşık çözüm Xyaklas¸ıkX_{\text{yaklaşık}} arasındaki hata, norm ile ifade edilir: Hata Normu=Xdog˘ruXyaklas¸ık2\text{Hata Normu} = \| X_{\text{doğru}} - X_{\text{yaklaşık}} \|_2


Şimdi bu işlemleri adım adım hesaplayalım. numpy as np

Verilen A matrisi ve B vektörü

A = np.array([ [2.5, -3.4, 17.4, -6.7, 20], [7, -3.2, 19.4, 5.7, 13], [2.1, 0, 14.4, -1, 11], [8.99, -7.1, 2.6, 3.1, 1], [-9.2, 0, 19, 5, 20] ], dtype=float)

B = np.array([50.8, 42.9, 26.5, 9.59, 34.8], dtype=float)

Doğru çözüm vektörü

X_correct = np.ones(5)

Gaussian eliminasyonu (Partial Pivoting) uygulanır

n = len(B) for i in range(n): # Partial Pivoting: Maksimum pivot elemanını seç max_row = np.argmax(np.abs(A[i:, i])) + i if i != max_row: A[[i, max_row]] = A[[max_row, i]] B[[i, max_row]] = B[[max_row, i]]

# Eliminasyon işlemi
for j in range(i+1, n):
    factor = A[j, i] / A[i, i]
    A[j, i:] -= factor * A[i, i:]
    B[j] -= factor * B[i]

Geri yerine koyma yöntemiyle çözüm vektörünü bul

X_approx = np.zeros(n) for i in range(n-1, -1, -1): X_approx[i] = (B[i] - np.dot(A[i, i+1:], X_approx[i+1:])) / A[i, i]

Hata değerini hesapla (Norm)

error_norm = np.linalg.norm(X_correct - X_approx, ord=2)

X_approx, error_normSonuçlar:

  1. Yaklaşık Çözüm Vektörü (Xyaklas¸ıkX_{\text{yaklaşık}}): Xyaklas¸ık=[4.809,5.270,4.461,2.520,7.560]X_{\text{yaklaşık}} = [4.809, 5.270, -4.461, 2.520, 7.560]

  2. Hata Değeri (Norm): Xdog˘ruXyaklas¸ık2=10.389\| X_{\text{doğru}} - X_{\text{yaklaşık}} \|_2 = 10.389

Bu, yaklaşık çözüm ile doğru çözüm ([1,1,1,1,1][1, 1, 1, 1, 1]) arasındaki farkın 2-normudur. Yaklaşık çözüm önemli bir hata göstermektedir.


Sormak ister misiniz? İşte 5 ilgili soru:

  1. Gaussian eliminasyonunun adımlarını detaylı açıklayabilir miyiz?
  2. Hata değerini azaltmak için hangi yöntemler kullanılabilir?
  3. Kısmi pivotlama yerine tam pivotlama kullansaydık sonuç değişir miydi?
  4. Bu çözümde neden norm-2 kullanıldı, başka normlar da kullanılabilir mi?
  5. Verilen çözüm vektörünü kontrol etmek için alternatif bir yöntem var mı?

Bir İpucu: Çözüm sonrası norm analizi, yöntemin duyarlılığını ve doğruluğunu anlamak için kritik bir adımdır.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Gaussian Elimination
Partial Pivoting
Error Analysis

Formulas

Ax = B
Gaussian Elimination with Partial Pivoting
Error Norm: ||X_correct - X_approx||_2

Theorems

Gaussian Elimination
Error Norm Theorem

Suitable Grade Level

Undergraduate (First Year)