Math Problem Statement
Aşağıdaki lineer denklem sistemini göz önünde bulundurun:
2.5 𝑥 1 − 3.4 𝑥 2 + 17.4 𝑥 3 − 6.7 𝑥 4 + 20 𝑥 5
𝑏 1 2.5x 1 −3.4x 2 +17.4x 3 −6.7x 4 +20x 5 =b 1
7 𝑥 1 − 3.2 𝑥 2 + 19.4 𝑥 3 + 5.7 𝑥 4 + 13 𝑥 5
𝑏 2 7x 1 −3.2x 2 +19.4x 3 +5.7x 4 +13x 5 =b 2
2.1 𝑥 1 + 14.4 𝑥 3 − 𝑥 4 + 11 𝑥 5
𝑏 3 2.1x 1 +14.4x 3 −x 4 +11x 5 =b 3
8.99 𝑥 1 − 7.1 𝑥 2 + 2.6 𝑥 3 + 3.1 𝑥 4 + 𝑥 5
𝑏 4 8.99x 1 −7.1x 2 +2.6x 3 +3.1x 4 +x 5 =b 4
− 9.2 𝑥 1 + 19 𝑥 3 + 5 𝑥 4 + 20 𝑥 5
𝑏 5 −9.2x 1 +19x 3 +5x 4 +20x 5 =b 5
Soru: Yukarıdaki denklem sisteminin tüm elemanlarının 1 olduğu bir çözüm vektörüne ( [ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ] [1,1,1,1,1]) sahip olduğu varsayılmaktadır. Verilen sistemi partial pivoting (kısmi pivotlama) yöntemi kullanarak Gaussian eliminasyonuyla çözün.
Yaklaşık çözümün hata değerini, doğru çözüm ile karşılaştırarak, sonuçları norm formatında hata değeri olarak hesaplayın.
Solution
Bu problemde, verilen lineer denklem sistemini çözmek için Gaussian eliminasyonunu partial pivoting (kısmi pivotlama) yöntemiyle uygulayacağız. Sonrasında, yaklaşık çözümün hata değerini, doğru çözüm olan vektörüyle karşılaştırarak, çözüm hatasının normunu hesaplayacağız.
Adımlar:
-
Denklem sistemi matris formunda ifade edilir: Burada , katsayılar matrisidir, , .
Katsayılar matrisi ve sağ taraf vektörü aşağıdaki gibidir:
2.5 & -3.4 & 17.4 & -6.7 & 20 \\ 7 & -3.2 & 19.4 & 5.7 & 13 \\ 2.1 & 0 & 14.4 & -1 & 11 \\ 8.99 & -7.1 & 2.6 & 3.1 & 1 \\ -9.2 & 0 & 19 & 5 & 20 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 50.8 \\ 42.9 \\ 26.5 \\ 9.59 \\ 34.8 \end{bmatrix}$$ Sağ taraf $$B$$, çözüm vektörünün $$[1, 1, 1, 1, 1]$$ olduğu varsayımıyla elde edilir: $$B = A \cdot [1, 1, 1, 1, 1]^T$$ -
Partial Pivoting ve Gaussian Eliminasyonu uygulanır: Bu yöntemde:
- Satır değişimleri yapılır ve en büyük mutlak değere sahip pivot elemanı seçilir.
- Satır işlemleriyle matrisi üst üçgen bir matris () haline getirilir.
- Geriye doğru yerine koyma işlemiyle yaklaşık çözüm vektörü elde edilir.
-
Hata Değeri (Norm) hesaplanır: Doğru çözüm vektörü ile elde edilen yaklaşık çözüm arasındaki hata, norm ile ifade edilir:
Şimdi bu işlemleri adım adım hesaplayalım. numpy as np
Verilen A matrisi ve B vektörü
A = np.array([ [2.5, -3.4, 17.4, -6.7, 20], [7, -3.2, 19.4, 5.7, 13], [2.1, 0, 14.4, -1, 11], [8.99, -7.1, 2.6, 3.1, 1], [-9.2, 0, 19, 5, 20] ], dtype=float)
B = np.array([50.8, 42.9, 26.5, 9.59, 34.8], dtype=float)
Doğru çözüm vektörü
X_correct = np.ones(5)
Gaussian eliminasyonu (Partial Pivoting) uygulanır
n = len(B) for i in range(n): # Partial Pivoting: Maksimum pivot elemanını seç max_row = np.argmax(np.abs(A[i:, i])) + i if i != max_row: A[[i, max_row]] = A[[max_row, i]] B[[i, max_row]] = B[[max_row, i]]
# Eliminasyon işlemi
for j in range(i+1, n):
factor = A[j, i] / A[i, i]
A[j, i:] -= factor * A[i, i:]
B[j] -= factor * B[i]
Geri yerine koyma yöntemiyle çözüm vektörünü bul
X_approx = np.zeros(n) for i in range(n-1, -1, -1): X_approx[i] = (B[i] - np.dot(A[i, i+1:], X_approx[i+1:])) / A[i, i]
Hata değerini hesapla (Norm)
error_norm = np.linalg.norm(X_correct - X_approx, ord=2)
X_approx, error_normSonuçlar:
-
Yaklaşık Çözüm Vektörü ():
-
Hata Değeri (Norm):
Bu, yaklaşık çözüm ile doğru çözüm () arasındaki farkın 2-normudur. Yaklaşık çözüm önemli bir hata göstermektedir.
Sormak ister misiniz? İşte 5 ilgili soru:
- Gaussian eliminasyonunun adımlarını detaylı açıklayabilir miyiz?
- Hata değerini azaltmak için hangi yöntemler kullanılabilir?
- Kısmi pivotlama yerine tam pivotlama kullansaydık sonuç değişir miydi?
- Bu çözümde neden norm-2 kullanıldı, başka normlar da kullanılabilir mi?
- Verilen çözüm vektörünü kontrol etmek için alternatif bir yöntem var mı?
Bir İpucu: Çözüm sonrası norm analizi, yöntemin duyarlılığını ve doğruluğunu anlamak için kritik bir adımdır.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Gaussian Elimination
Partial Pivoting
Error Analysis
Formulas
Ax = B
Gaussian Elimination with Partial Pivoting
Error Norm: ||X_correct - X_approx||_2
Theorems
Gaussian Elimination
Error Norm Theorem
Suitable Grade Level
Undergraduate (First Year)
Related Recommendation
Gauss-Elimination Method: Solving a 3x3 System with Partial Pivoting
Step-by-Step Gaussian Elimination with Partial Pivoting
Solving Linear Systems Using Gaussian Elimination with Partial Pivoting
Solve a System of Linear Equations Using Gaussian Elimination
Solve a System of Linear Equations Using Gaussian Elimination