Math Problem Statement

Dengan eliminasi Gauss tentukanlah apakah spl-spl berikut konsisten atau tak konsisten. Jika konsisten tentukan himpunan closing nya. -5x-2y+2z=14, 3x+y-z=-8, 2x+5y-5z=-3

Solution

Untuk menentukan apakah sistem persamaan linear berikut konsisten atau tidak, kita bisa menggunakan eliminasi Gauss. Sistem persamaan yang diberikan adalah:

-5x - 2y + 2z &= 14 \\ 3x + y - z &= -8 \\ 2x + 5y - 5z &= -3 \end{aligned}$$ Langkah-langkah untuk eliminasi Gauss adalah: 1. **Tulis sistem persamaan dalam bentuk matriks augmented**: $$\begin{pmatrix} -5 & -2 & 2 & | & 14 \\ 3 & 1 & -1 & | & -8 \\ 2 & 5 & -5 & | & -3 \end{pmatrix}$$ 2. **Buat elemen di baris pertama kolom pertama menjadi 1** dengan membagi baris pertama dengan $$-5$$: $$\begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & -\frac{2}{5} & | & -\frac{14}{5} \\ 3 & 1 & -1 & | & -8 \\ 2 & 5 & -5 & | & -3 \end{pmatrix}$$ 3. **Eliminasi elemen di kolom pertama (baris kedua dan ketiga)**: - Baris 2 = Baris 2 - 3*(Baris 1) - Baris 3 = Baris 3 - 2*(Baris 1) $$\begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & -\frac{2}{5} & | & -\frac{14}{5} \\ 0 & -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & | & \frac{2}{5} \\ 0 & \frac{21}{5} & -\frac{1}{5} & | & \frac{23}{5} \end{pmatrix}$$ 4. **Buat elemen di baris kedua kolom kedua menjadi 1** dengan mengalikan baris kedua dengan $$-5$$: $$\begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & -\frac{2}{5} & | & -\frac{14}{5} \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 \\ 0 & \frac{21}{5} & -\frac{1}{5} & | & \frac{23}{5} \end{pmatrix}$$ 5. **Eliminasi elemen di kolom kedua (baris pertama dan ketiga)**: - Baris 1 = Baris 1 - (Baris 2)*$$\frac{2}{5}$$ - Baris 3 = Baris 3 - (Baris 2)*$$\frac{21}{5}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -4 \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 \\ 0 & 0 & 2 & | & 5 \end{pmatrix}$$ 6. **Buat elemen di baris ketiga kolom ketiga menjadi 1** dengan membagi baris ketiga dengan 2: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -4 \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{5}{2} \end{pmatrix}$$ 7. **Eliminasi elemen di kolom ketiga (baris kedua)**: - Baris 2 = Baris 2 + (Baris 3)*1 $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -4 \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{5}{2} \end{pmatrix}$$ Dari bentuk ini, kita mendapatkan solusi dari SPL tersebut: $$\begin{aligned} x &= -4 \\ y &= \frac{1}{2} \\ z &= \frac{5}{2} \end{aligned}$$ ### Kesimpulan: Sistem persamaan linear ini **konsisten** dan himpunan penyelesaiannya adalah $$\{(-4, \frac{1}{2}, \frac{5}{2})\}$$. Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain? **Pertanyaan terkait:** 1. Apa perbedaan antara eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan? 2. Bagaimana menentukan apakah sistem persamaan linear memiliki solusi unik? 3. Apa yang dimaksud dengan matriks augmented? 4. Bagaimana cara memeriksa konsistensi sistem persamaan menggunakan determinan? 5. Bagaimana jika sistem persamaan memiliki tak hingga solusi? **Tip**: Dalam eliminasi Gauss, langkah penting adalah membuat nol di bawah elemen pivot untuk mempermudah proses eliminasi.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Gaussian Elimination
Systems of Linear Equations

Formulas

Augmented Matrix Representation
Row Operations
Gaussian Elimination Steps

Theorems

Gaussian Elimination Method

Suitable Grade Level

Grades 10-12

Related Recommendation

Solving Linear Systems Using Gaussian and Gauss-Jordan Elimination

Solving a System of Linear Equations: Step-by-Step Guide

Solve and Test Consistency of System of Linear Equations Using Gaussian Elimination

Solving a System of Linear Equations Using Gaussian Elimination

Gaussian Elimination: Determine Consistency of Linear System