Math Problem Statement
Untuk menentukan apakah sistem persamaan linear berikut konsisten atau tidak, kita bisa menggunakan eliminasi Gauss. Sistem persamaan yang diberikan adalah: 3x-2y+4z=-54, -x+y-2z=20, 5x-4y+8z=-83
Solution
Untuk menentukan apakah sistem persamaan linear yang diberikan konsisten atau tidak, kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
Diberikan Sistem Persamaan
1. & \quad 3x - 2y + 4z = -54 \\ 2. & \quad -x + y - 2z = 20 \\ 3. & \quad 5x - 4y + 8z = -83 \\ \end{aligned}$$ ### Langkah 1: Bentuk Matriks Augmented Kita ubah sistem persamaan di atas ke dalam bentuk matriks augmented $$[A | B]$$: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 4 & -54 \\ -1 & 1 & -2 & 20 \\ 5 & -4 & 8 & -83 \\ \end{array}\right]$$ ### Langkah 2: Lakukan Eliminasi Gauss Kita akan menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah matriks augmented ini menjadi bentuk eselon baris (row echelon form). 1. **Buat elemen pertama baris pertama menjadi 1:** Bagilah baris pertama dengan 3: $$R1 \rightarrow \frac{1}{3}R1$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{2}{3} & \frac{4}{3} & -18 \\ -1 & 1 & -2 & 20 \\ 5 & -4 & 8 & -83 \\ \end{array}\right]$$ 2. **Eliminasi elemen pertama baris kedua dan ketiga:** Untuk baris kedua (R2), tambahkan $$R1$$ ke $$R2$$: $$R2 \rightarrow R2 + R1$$ Untuk baris ketiga (R3), kurangi 5 kali $$R1$$ dari $$R3$$: $$R3 \rightarrow R3 - 5R1$$ Hasilnya adalah: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{2}{3} & \frac{4}{3} & -18 \\ 0 & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & 2 \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} & 7 \\ \end{array}\right]$$ 3. **Eliminasi elemen kedua baris ketiga:** Untuk baris ketiga (R3), kurangi 2 kali baris kedua dari baris ketiga: $$R3 \rightarrow R3 - 2R2$$ Hasilnya adalah: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{2}{3} & \frac{4}{3} & -18 \\ 0 & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{array}\right]$$ ### Langkah 3: Interpretasi Matriks augmented di atas menunjukkan bahwa ada baris di mana semua koefisien variabel adalah 0, tetapi nilai di sebelah kanan tanda "=" bukan 0 (dalam hal ini, $$0x + 0y + 0z = 3$$). Ini merupakan kontradiksi, yang berarti sistem persamaan ini **tidak konsisten**. ### Kesimpulan Sistem persamaan linear yang diberikan tidak memiliki solusi, jadi sistem ini **tidak konsisten**. Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain? ### Pertanyaan Tambahan: 1. Apa itu eliminasi Gauss dan bagaimana cara kerjanya dalam sistem persamaan linear? 2. Bagaimana kita bisa menentukan apakah sistem persamaan konsisten atau tidak tanpa eliminasi Gauss? 3. Apa perbedaan antara sistem yang konsisten dan tidak konsisten? 4. Bagaimana kita menangani sistem persamaan yang memiliki tak hingga solusi? 5. Apakah ada metode lain selain eliminasi Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear? **Tip:** Menggunakan matriks augmented memudahkan visualisasi dan manipulasi sistem persamaan linear dalam berbagai metode penyelesaian.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Systems of Linear Equations
Gaussian Elimination
Formulas
Augmented Matrix
Row Echelon Form
Elementary Row Operations
Theorems
Gaussian Elimination Theorem
Consistency of Linear Systems
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Testing Consistency of a System of Equations Using Gaussian Elimination
Solving a System of Linear Equations Using Gaussian Elimination
Solving a System of Linear Equations Using Gaussian Elimination
Check for Consistency of a 3x3 Augmented Matrix System
Solve and Test Consistency of System of Linear Equations Using Gaussian Elimination