Gunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk menentukan nilai dari A, B, dan C yang
memenuhi persamaan
5x
2 + 23x − 58
(x − 1)(x − 3)(x + 4) =
A
x − 1
+
B
x − 3
+
C
x + 4

Untuk menentukan nilai \( A \), \( B \), dan \( C \) yang memenuhi persamaan

\[
\frac{5x^2 + 23x - 58}{(x - 1)(x - 3)(x + 4)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 4},
\]

kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan dengan cara berikut:

1. Pertama, samakan penyebut di sisi kanan persamaan:

\[
\frac{A(x - 3)(x + 4) + B(x - 1)(x + 4) + C(x - 1)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)(x + 4)}.
\]

2. Menyamakan pembilangnya, kita mendapatkan:

\[
5x^2 + 23x - 58 = A(x - 3)(x + 4) + B(x - 1)(x + 4) + C(x - 1)(x - 3).
\]

3. Kita akan memperluas setiap suku di sisi kanan:

\[
A(x^2 + x - 12) + B(x^2 + 3x - 4) + C(x^2 - 4x + 3).
\]

4. Gabungkan semua suku:

\[
(A + B + C)x^2 + (A - 3A + 4B + 3B - 4C - 4C)x + (-12A - 4B + 3C).
\]

Dari sini, kita dapat membentuk sistem persamaan berdasarkan koefisien dari \( x^2 \), \( x \), dan konstanta:

\[
\begin{cases}
A + B + C = 5, \\
A + 4B - 4C = 23, \\
-12A - 4B + 3C = -58.
\end{cases}
\]

5. Sekarang kita akan menyelesaikan sistem persamaan linear ini menggunakan eliminasi Gauss-Jordan:

Tuliskan matriks augmented dari sistem persamaan ini:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 5 \\
1 & 4 & -4 & | & 23 \\
-12 & -4 & 3 & | & -58
\end{bmatrix}
\]

Mari kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan untuk mencari nilai \( A \), \( B \), dan \( C \).Hasil dari eliminasi Gauss-Jordan memberikan nilai:

\[
A = 3.33, \quad B = 3.29, \quad C = -1.62.
\]

Ini adalah nilai-nilai yang memenuhi persamaan yang diberikan.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain? Berikut adalah beberapa pertanyaan lanjutan yang mungkin menarik:

1. Bagaimana proses eliminasi Gauss-Jordan bekerja secara detail?
2. Bagaimana kita dapat memverifikasi hasil \( A \), \( B \), dan \( C \) secara manual?
3. Bagaimana penerapan eliminasi Gauss-Jordan pada sistem persamaan dengan lebih banyak variabel?
4. Apa perbedaan antara eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan?
5. Bagaimana cara menangani sistem persamaan yang tidak memiliki solusi unik menggunakan metode ini?

**Tip:** Saat menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, pastikan pivot utama (elemen diagonal) tidak bernilai nol untuk menghindari pembagian yang tidak valid.

Gunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk menentukan nilai dari A, B, dan C yang memenuhi persamaan 5x^2 + 23x − 58 / (x − 1)(x − 3)(x + 4) = A / (x − 1) + B / (x − 3) + C / (x + 4)

Learn how to solve for A, B, and C using the Gauss-Jordan elimination method in a partial fraction decomposition problem. This detailed solution breaks down the process of applying algebra and matrix operations, perfect for linear algebra students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation