Untuk menentukan nilai $A$, $B$, dan $C$ yang memenuhi persamaan

$\frac{5x^2 + 23x - 58}{(x - 1)(x - 3)(x + 4)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 4},$

kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan dengan cara berikut:

1. Pertama, samakan penyebut di sisi kanan persamaan:

$\frac{A(x - 3)(x + 4) + B(x - 1)(x + 4) + C(x - 1)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)(x + 4)}.$

2. Menyamakan pembilangnya, kita mendapatkan:

$5x^2 + 23x - 58 = A(x - 3)(x + 4) + B(x - 1)(x + 4) + C(x - 1)(x - 3).$

3. Kita akan memperluas setiap suku di sisi kanan:

$A(x^2 + x - 12) + B(x^2 + 3x - 4) + C(x^2 - 4x + 3).$

4. Gabungkan semua suku:

$(A + B + C)x^2 + (A - 3A + 4B + 3B - 4C - 4C)x + (-12A - 4B + 3C).$

Dari sini, kita dapat membentuk sistem persamaan berdasarkan koefisien dari $x^2$, $x$, dan konstanta:

A + B + C = 5, \\ A + 4B - 4C = 23, \\ -12A - 4B + 3C = -58. \end{cases}$$ 5. Sekarang kita akan menyelesaikan sistem persamaan linear ini menggunakan eliminasi Gauss-Jordan: Tuliskan matriks augmented dari sistem persamaan ini: $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 1 & 4 & -4 & | & 23 \\ -12 & -4 & 3 & | & -58 \end{bmatrix}$$ Mari kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan untuk mencari nilai $$A$$, $$B$$, dan $$C$$.Hasil dari eliminasi Gauss-Jordan memberikan nilai: $$A = 3.33, \quad B = 3.29, \quad C = -1.62.$$ Ini adalah nilai-nilai yang memenuhi persamaan yang diberikan. Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain? Berikut adalah beberapa pertanyaan lanjutan yang mungkin menarik: 1. Bagaimana proses eliminasi Gauss-Jordan bekerja secara detail? 2. Bagaimana kita dapat memverifikasi hasil $$A$$, $$B$$, dan $$C$$ secara manual? 3. Bagaimana penerapan eliminasi Gauss-Jordan pada sistem persamaan dengan lebih banyak variabel? 4. Apa perbedaan antara eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan? 5. Bagaimana cara menangani sistem persamaan yang tidak memiliki solusi unik menggunakan metode ini? **Tip:** Saat menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, pastikan pivot utama (elemen diagonal) tidak bernilai nol untuk menghindari pembagian yang tidak valid.