Para cada problema, plantee un sistema de ecuaciones y resuelva por el método de eliminación de Gauss-Jordán.
4. Una Farmacia vende 100 unidades de vitamina A, 50 unidades de vitamina C y 25 Unidades de vitamina E por un total de $ 17.500; 200 unidades de vitamina A, 100 unidades de vitamina C y 100 unidades de vitamina E por $45.000; 500 unidades de vitamina A, 80 unidades de vitamina C y 50 unidades de vitamina E por $ 64.000. Encuentre el costo por unidad de cada una de las vitaminas A, C y E.

Para resolver el problema, planteamos un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son los precios por unidad de las vitaminas A, C y E. Denotamos:

- $ x $ = costo por unidad de la vitamina A,
- $ y $ = costo por unidad de la vitamina C,
- $ z $ = costo por unidad de la vitamina E.

A partir de la información proporcionada, obtenemos las siguientes ecuaciones:

1. $ 100x + 50y + 25z = 17500 $
2. $ 200x + 100y + 100z = 45000 $
3. $ 500x + 80y + 50z = 64000 $

Este sistema de ecuaciones se puede escribir en forma de matriz aumentada:

\[
\begin{pmatrix}
100 & 50 & 25 & | & 17500 \\
200 & 100 & 100 & | & 45000 \\
500 & 80 & 50 & | & 64000
\end{pmatrix}
\]

Ahora aplicaremos el método de eliminación Gauss-Jordán para resolver el sistema.

### Paso 1: Normalizar la primera fila
Dividimos la primera fila entre 100 para que el coeficiente de $x$ en la primera fila sea 1:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0.5 & 0.25 & | & 175 \\
200 & 100 & 100 & | & 45000 \\
500 & 80 & 50 & | & 64000
\end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Eliminar el término $ x $ de las filas 2 y 3

Restamos $ 200 \times $ fila 1 de la fila 2:

\[
\text{F2} = \text{F2} - 200 \times \text{F1}
\]

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0.5 & 0.25 & | & 175 \\
0 & 0 & 50 & | & 10000 \\
500 & 80 & 50 & | & 64000
\end{pmatrix}
\]

Restamos $ 500 \times $ fila 1 de la fila 3:

\[
\text{F3} = \text{F3} - 500 \times \text{F1}
\]

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0.5 & 0.25 & | & 175 \\
0 & 0 & 50 & | & 10000 \\
0 & -170 & -75 & | & 75500
\end{pmatrix}
\]

### Paso 3: Normalizar la segunda fila
Dividimos la segunda fila entre 50 para que el coeficiente de $ z $ sea 1:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0.5 & 0.25 & | & 175 \\
0 & 0 & 1 & | & 200 \\
0 & -170 & -75 & | & 75500
\end{pmatrix}
\]

### Paso 4: Eliminar el término $ z $ de las filas 1 y 3
Restamos $ 0.25 \times $ fila 2 de la fila 1:

\[
\text{F1} = \text{F1} - 0.25 \times \text{F2}
\]

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0.5 & 0 & | & 125 \\
0 & 0 & 1 & | & 200 \\
0 & -170 & -75 & | & 75500
\end{pmatrix}
\]

Restamos $ -75 \times $ fila 2 de la fila 3:

\[
\text{F3} = \text{F3} + 75 \times \text{F2}
\]

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0.5 & 0 & | & 125 \\
0 & 0 & 1 & | & 200 \\
0 & -170 & 0 & | & -2500
\end{pmatrix}
\]

### Paso 5: Normalizar la tercera fila
Dividimos la tercera fila entre $-170$ para que el coeficiente de $ y $ sea 1:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0.5 & 0 & | & 125 \\
0 & 0 & 1 & | & 200 \\
0 & 1 & 0 & | & 14.71
\end{pmatrix}
\]

### Paso 6: Eliminar el término $ y $ de las filas 1
Restamos $ 0.5 \times $ fila 3 de la fila 1:

\[
\text{F1} = \text{F1} - 0.5 \times \text{F3}
\]

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 117.65 \\
0 & 1 & 0 & | & 14.71 \\
0 & 0 & 1 & | & 200
\end{pmatrix}
\]

### Solución final:
\[
x = 117.65, \quad y = 14.71, \quad z = 200
\]

Por lo tanto, el costo por unidad de cada vitamina es:

- Vitamina A: $ x = 117.65 $ pesos
- Vitamina C: $ y = 14.71 $ pesos
- Vitamina E: $ z = 200 $ pesos

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para explorar más:
1. ¿Cómo se generaliza el método de Gauss-Jordán para sistemas de más ecuaciones?
2. ¿Qué ventajas tiene el método de eliminación de Gauss-Jordán frente a otros métodos?
3. ¿Cómo se interpretan las soluciones cuando un sistema es inconsistente o tiene infinitas soluciones?
4. ¿Qué ocurre si las ecuaciones originales no están en una forma conveniente para el método de eliminación?
5. ¿Cómo se podría resolver este sistema usando matrices inversas en lugar de Gauss-Jordán?

**Tip:** El método de eliminación de Gauss-Jordán también puede usarse para encontrar la inversa de una matriz cuadrada.

Para cada problema, plantee un sistema de ecuaciones y resuelva por el método de eliminación de Gauss-Jordán. Una Farmacia vende 100 unidades de vitamina A, 50 unidades de vitamina C y 25 Unidades de vitamina E por un total de $ 17.500; 200 unidades de vitamina A, 100 unidades de vitamina C y 100 unidades de vitamina E por $45.000; 500 unidades de vitamina A, 80 unidades de vitamina C y 50 unidades de vitamina E por $ 64.000. Encuentre el costo por unidad de cada una de las vitaminas A, C y E.

Learn how to solve a system of linear equations using the Gauss-Jordan elimination method. This example covers the cost of vitamins A, C, and E based on sales data. Suitable for college-level students studying linear algebra.

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