Az ábrán egy függvényvizsgálati feladat látható, ami alapján több kérdést kell megválaszolni. Nézzük lépésenként:

1. Táblázat elemzése

A táblázat adja meg a függvény, az első és a második derivált előjelét különböző intervallumokban. Ezen információk alapján tudjuk meghatározni a függvény növekedési és csökkenési tartományait, valamint a konvexitását és inflexiós pontjait.

Táblázat rövid értelmezése:

• $f'(x)$: Az első derivált előjele a függvény növekedési és csökkenési irányát mutatja.
• $f''(x)$: A második derivált előjele segít meghatározni, hogy a függvény konvex vagy konkáv.
• $f(x)$: A függvény értékei adott pontokban: $x=0, 1, 2$.

2. Kérdések megválaszolása

a) Hol csökkenő a függvény?

• A függvény akkor csökken, amikor $f'(x) < 0$.
• Az $f'(x)$ értéke negatív a következő intervallumokban: $0 < x < 1$ és $1 < x < 2$.
• Tehát a függvény csökken $0 < x < 2$-ben.

b) Hol, milyen jellegű és mekkora helyi szélsőértékei vannak a függvénynek?

• Helyi minimum: Az $f'(x)$ előjele pozitívról negatívra változik $x=0$-nál, így itt helyi maximum van.
• Helyi maximum: Az $f'(x)$ negatívról pozitívra változik $x=2$-nél, így itt helyi minimum van.

c) Hol konvex a függvény?

• A függvény akkor konvex, amikor $f''(x) > 0$.
• Az $f''(x)$ pozitív a $1 < x < 2$ és $x > 2$ intervallumokban.
• Tehát a függvény konvex $1 < x \leq 2$-ben és $x > 2$-ben.

d) Van-e inflexiós pontja a függvénynek? Ha igen, hol?

• Inflexiós pont akkor van, amikor a második derivált előjele változik.
• Az $f''(x)$ előjele $x=1$-nél változik negatívról pozitívra, így ott inflexiós pont van.

e) Vázolja a függvény grafikonját!

• A grafikon vázolásához figyelembe kell venni a növekedési, csökkenési tartományokat, valamint a konvexitást és az inflexiós pontot.

f) Van-e a függvénynek abszolút szélsőértéke(i)? Ha igen, hol?

• Az abszolút szélsőértékeket a határértékekből és a helyi szélsőértékekből lehet következtetni.
• Mivel $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ és $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, nincs abszolút szélsőérték.

g) Adja meg a függvény értékkészletét!

• A határértékek alapján a függvény értékkészlete $(-\infty, +\infty)$.

Szeretnél részletezést valamelyik pontról?

Relatív Kérdések

1. Miért fontos a deriváltak előjele a függvény tulajdonságainak meghatározásában?
2. Hogyan találjuk meg a szélsőértékeket a deriváltak alapján?
3. Mi a különbség a helyi és az abszolút szélsőérték között?
4. Hogyan határozzuk meg a konvexitást és az inflexiós pontokat?
5. Hogyan rajzolnánk meg a függvény grafikonját a megadott adatok alapján?

Tipp

Mindig figyeljünk a deriváltak előjelváltásaira, mert ezek adják meg a függvény növekedési, csökkenési, konvexitási és inflexiós tulajdonságait.