Полный криволинейный интеграл второго рода по кривой $L$ от точки $A$ до точки $B$ определяется как:

$\int_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

Здесь:

• $\mathbf{F}$ — векторное поле, по которому проводится интегрирование;
• $d\mathbf{r}$ — дифференциал радиус-вектора, элемент пути на кривой $L$;
• $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ — скалярное произведение векторного поля и вектора дифференциала пути.

Этот интеграл физически интерпретируется как работа силы $\mathbf{F}$, совершаемая при перемещении точки вдоль кривой $L$ из точки $A$ в точку $B$.

Если векторное поле является потенциальным, то значение интеграла будет зависеть только от начальной и конечной точек кривой, а не от самой кривой $L$. В таком случае интеграл можно выразить как разность значений скалярного потенциала $\phi$ в точках $A$ и $B$:

$\int_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \phi(B) - \phi(A)$

Дополнительные вопросы:

1. Что такое криволинейный интеграл первого рода, и чем он отличается от второго рода?
2. Какую физическую интерпретацию можно дать криволинейному интегралу в различных приложениях?
3. Как вычислить криволинейный интеграл второго рода для конкретного примера векторного поля?
4. Как связаны криволинейные интегралы и теорема Стокса?
5. Какие условия накладываются на векторное поле, чтобы интеграл второго рода был независим от пути?

Совет:

Для упрощения вычислений криволинейных интегралов часто полезно проверять, является ли векторное поле потенциальным (консервативным), так как это значительно упрощает задачу.