Tentukan semua akar dari (- 8 - 8sqrt(3) * i) ^ (1/4) dan gambarkan akar-akar tersebut dalam bidang kompleks.

Kita akan mencari akar-akar kuadrat empat (akar pangkat 4) dari bilangan kompleks \( -8 - 8\sqrt{3} i \). Proses ini akan melibatkan dua langkah utama:

1. **Menyatakan bilangan dalam bentuk polar** (menghitung modulus dan argumen dari bilangan kompleks).
2. **Menggunakan rumus akar pangkat n** untuk bilangan kompleks dalam bentuk polar.

### Langkah 1: Menyatakan dalam bentuk polar
Bilangan kompleks diberikan dalam bentuk kartesius:
\[
z = -8 - 8\sqrt{3} i
\]
Modulus \( r \) dari \( z \) adalah:
\[
r = |z| = \sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16
\]

Argumen \( \theta \) dihitung menggunakan:
\[
\theta = \text{arg}(z) = \text{atan2} \left( \frac{-8\sqrt{3}}{-8} \right) = \text{atan2}(\sqrt{3}, 1) = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}
\]
(Karena bilangan terletak di kuadran ketiga, kita menambahkan \( \pi \)).

Jadi, bentuk polar dari \( z \) adalah:
\[
z = 16 \text{cis} \frac{4\pi}{3}
\]
(atau \( z = 16 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) \)).

### Langkah 2: Menghitung akar pangkat empat
Untuk mencari akar pangkat empat dari bilangan ini, kita menggunakan rumus akar pangkat n:
\[
z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} \text{cis} \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right)
\]
dengan \( n = 4 \) (karena kita mencari akar pangkat 4) dan \( k = 0, 1, 2, 3 \) untuk menemukan keempat akar.

#### Modulus akar:
\[
r^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} = 2
\]

#### Argumen akar:
\[
\theta_k = \frac{4\pi}{3} + \frac{2k\pi}{4} = \frac{4\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}
\]
Sehingga untuk setiap nilai \( k \), kita dapatkan:

- Untuk \( k = 0 \): \( \theta_0 = \frac{4\pi}{3} \)
- Untuk \( k = 1 \): \( \theta_1 = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi}{6} \)
- Untuk \( k = 2 \): \( \theta_2 = \frac{4\pi}{3} + \pi = \frac{10\pi}{3} \) atau \( \frac{2\pi}{3} \) (dikurangkan 2π)
- Untuk \( k = 3 \): \( \theta_3 = \frac{4\pi}{3} + \frac{3\pi}{2} = \frac{17\pi}{6} \) atau \( \frac{5\pi}{6} \) (dikurangkan 2π)

Maka, keempat akar dalam bentuk polar adalah:
\[
z_k = 2 \text{cis} \left( \frac{4\pi}{3} + \frac{k\pi}{2} \right)
\]
dengan \( k = 0, 1, 2, 3 \).

### Langkah 3: Representasi akar-akar dalam bidang kompleks
Akar-akar tersebut dapat digambarkan dalam bidang kompleks sebagai empat titik yang simetris pada lingkaran dengan radius 2, berpusat di origo, dan sudut-sudut yang dihasilkan oleh argumen \( \theta_k \).

Jika diperlukan, saya bisa menggambarkan akar-akar ini pada bidang kompleks. Apakah Anda ingin saya menghasilkan gambar atau menjelaskan lebih lanjut?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait untuk pendalaman:

1. Bagaimana cara menentukan modulus dan argumen dari bilangan kompleks?
2. Bagaimana akar pangkat n dari bilangan kompleks dihitung?
3. Apa perbedaan antara bentuk kartesius dan bentuk polar dari bilangan kompleks?
4. Mengapa penting untuk mengidentifikasi kuadran saat menghitung argumen bilangan kompleks?
5. Bagaimana cara menggambarkan akar-akar bilangan kompleks di bidang Argand?

**Tip:** Saat menghitung argumen, pastikan untuk menyesuaikan dengan kuadran tempat bilangan kompleks berada, agar hasilnya benar.

Explore how to find all fourth roots of the complex number (-8 - 8sqrt(3) i) by converting it into polar form, applying De Moivre's theorem, and plotting the roots symmetrically on the complex plane. This detailed step-by-step solution is suitable for advanced high school or undergraduate students studying complex numbers.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation