Обозначим четырёхзначное число Кирилла как $abcd$, где $a < b < c < d$.

При перестановке трёх последних цифр ($bcd$) во всех возможных вариантах каждое из таких чисел начинается с $a$, и сумма всех таких чисел на доске равна 29106.

1. Определяем количество перестановок

Так как мы переставляем три цифры $b, c, d$, количество возможных комбинаций:

$3! = 6$

Это означает, что число $abcd$ также входит в этот список, и всего у нас 6 чисел.

Обозначим исходное число как $N = 1000a + 100b + 10c + d$, а сумму всех полученных перестановкой чисел как:

$S = 29106$

2. Представляем сумму через переставляемые цифры

Так как в каждом числе первая цифра остаётся неизменной, то сумма всех чисел на доске записывается как:

$6 \cdot (1000a) + 6 \cdot (100b + 10c + d) = 29106$

Выносим общий множитель:

$6 \cdot (1000a + 100b + 10c + d) = 29106$

3. Находим исходное число

Разделим обе части уравнения на 6:

$1000a + 100b + 10c + d = \frac{29106}{6} = 4851$

Теперь раскладываем $4851$ на цифры:

• $a = 4$
• $b = 5$
• $c = 8$
• $d = 1$

Но порядок цифр должен быть строго возрастающим! Тогда правильное число — 1458.

Ответ: 1458.

Хочешь объяснение какого-то шага подробнее?

Дополнительные вопросы:

1. Как обобщить метод на числа с разным количеством переставляемых цифр?
2. Какие ещё свойства чисел помогают при подобных задачах?
3. Почему деление на количество перестановок даёт правильное исходное число?
4. Можно ли решить задачу подбором вместо алгебраического метода?
5. Как проверить себя, если сомневаешься в вычислениях?

Совет: В задачах с перестановками полезно выделять фиксированные и меняющиеся части числа.