Há pesquisadores de três áreas: 9 químicos, 5 físicos e 5 matemáticos. Desej-se criar uma comissão com 4 cientistas, sabendo que essa comissão deve ser fromada por cientistas de áres distintas, quantas formas distintas há de criar essa comissão?

Para resolver esse problema, precisamos determinar o número de maneiras distintas de formar uma comissão com 4 cientistas, de modo que cada cientista pertença a uma área diferente.

**Passo 1: Definir as possibilidades**  
As três áreas são: Química, Física e Matemática. A comissão deve ser composta por cientistas de áreas distintas. Portanto, as combinações possíveis de áreas para a comissão são:

- 2 químicos, 1 físico e 1 matemático;
- 1 químico, 2 físicos e 1 matemático;
- 1 químico, 1 físico e 2 matemáticos.

**Passo 2: Calcular o número de combinações possíveis para cada caso**  
Vamos calcular o número de maneiras de selecionar os cientistas para cada caso.

1. **2 químicos, 1 físico e 1 matemático**:
   - Número de maneiras de escolher 2 químicos entre 9: \(\binom{9}{2}\)
   - Número de maneiras de escolher 1 físico entre 5: \(\binom{5}{1}\)
   - Número de maneiras de escolher 1 matemático entre 5: \(\binom{5}{1}\)

   \[
   \text{Total} = \binom{9}{2} \times \binom{5}{1} \times \binom{5}{1}
   \]

2. **1 químico, 2 físicos e 1 matemático**:
   - Número de maneiras de escolher 1 químico entre 9: \(\binom{9}{1}\)
   - Número de maneiras de escolher 2 físicos entre 5: \(\binom{5}{2}\)
   - Número de maneiras de escolher 1 matemático entre 5: \(\binom{5}{1}\)

   \[
   \text{Total} = \binom{9}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{1}
   \]

3. **1 químico, 1 físico e 2 matemáticos**:
   - Número de maneiras de escolher 1 químico entre 9: \(\binom{9}{1}\)
   - Número de maneiras de escolher 1 físico entre 5: \(\binom{5}{1}\)
   - Número de maneiras de escolher 2 matemáticos entre 5: \(\binom{5}{2}\)

   \[
   \text{Total} = \binom{9}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{5}{2}
   \]

**Passo 3: Substituir as combinações pelos valores e somar**  
Agora, calculamos cada combinação usando as fórmulas de combinação \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\):

1. \(\binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36\)  
   \(\binom{5}{1} = 5\)  
   \(\binom{5}{1} = 5\)  
   \(\text{Total} = 36 \times 5 \times 5 = 900\)

2. \(\binom{9}{1} = 9\)  
   \(\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)  
   \(\binom{5}{1} = 5\)  
   \(\text{Total} = 9 \times 10 \times 5 = 450\)

3. \(\binom{9}{1} = 9\)  
   \(\binom{5}{1} = 5\)  
   \(\binom{5}{2} = 10\)  
   \(\text{Total} = 9 \times 5 \times 10 = 450\)

**Passo 4: Somar todas as combinações**  
\[
\text{Número total de maneiras} = 900 + 450 + 450 = 1800
\]

Portanto, existem **1.800 formas distintas** de criar essa comissão.

---

Quer detalhes ou tem alguma dúvida?

### Perguntas Relacionadas
1. Como calcular combinações \(\binom{n}{k}\) para diferentes valores?
2. Como generalizar o problema para mais áreas de pesquisa?
3. Quais outras situações podem ser modeladas com combinações?
4. Qual a diferença entre combinação e permutação?
5. Como o problema mudaria se as áreas não fossem distintas?
6. Qual seria o resultado se a comissão tivesse 5 cientistas, em vez de 4?
7. Como se calcula a permutação com repetição em casos semelhantes?
8. Existe um método mais rápido para resolver esse tipo de problema combinatório?

### Dica
Ao lidar com problemas de combinação, é útil lembrar que a ordem dos elementos não importa. Isso simplifica a contagem e evita duplicações no cálculo.

Calculate the number of ways to form a committee of 4 scientists, ensuring each scientist comes from a different field (Chemistry, Physics, Mathematics). Detailed explanation with combinatorial formulas and step-by-step calculations. Suitable for advanced high school students.

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