برای تعیین تعداد مقادیر $k$ که معادله
$(2x - 1)^2 = k^2 - 1$ دارای یک جواب باشد، مراحل زیر را طی می‌کنیم:

مرحله 1: بررسی کلی معادله

معادله را به صورت استاندارد بررسی می‌کنیم: $(2x - 1)^2 - (k^2 - 1) = 0$ که می‌توان آن را به شکل: $(2x - 1)^2 = k^2 - 1$ نوشت. این معادله یک معادله درجه دوم نسبت به $x$ است.

مرحله 2: شرایط داشتن تنها یک جواب

یک معادله درجه دوم: $a x^2 + b x + c = 0$ دارای یک ریشه‌ی تکراری است اگر و فقط اگر مقدار دلتا برابر صفر باشد: $\Delta = 0$ در اینجا، معادله را به صورت استاندارد باز می‌نویسیم: $(2x - 1)^2 - (k^2 - 1) = 0$ با باز کردن پرانتز: $4x^2 - 4x + 1 - k^2 + 1 = 0$ $4x^2 - 4x + (2 - k^2) = 0$ که ضرایب آن به‌صورت: $A = 4, \quad B = -4, \quad C = 2 - k^2$ است.

مرحله 3: محاسبه دلتا و یافتن مقادیر k

شرط داشتن یک ریشه‌ی مکرر این است که: $\Delta = B^2 - 4AC = 0$ $(-4)^2 - 4(4)(2 - k^2) = 0$ $16 - 16(2 - k^2) = 0$ $16 - 32 + 16k^2 = 0$ $16k^2 - 16 = 0$ $16k^2 = 16$ $k^2 = 1$ $k = \pm 1$

نتیجه‌گیری

معادله برای دو مقدار $k = 1$ و $k = -1$ دارای تنها یک جواب است. پس دو مقدار $k$ داریم که شرط مسئله را ارضا می‌کنند.

---

آیا توضیح بیشتری نیاز دارید؟

سوالات مرتبط:

1. اگر شرط یک جواب بودن را برداریم، این معادله چند جواب دارد؟
2. در چه شرایطی این معادله هیچ جوابی ندارد؟
3. اگر به جای $k^2 - 1$، عبارت دیگری داده شود، چگونه تحلیل کنیم؟
4. چگونه می‌توان این معادله را با استفاده از روش هندسی تحلیل کرد؟
5. چگونه مفهوم دلتا در معادلات درجه دوم بر تعداد جواب‌ها تأثیر می‌گذارد؟

نکته:

در معادلات درجه دوم، مقدار دلتا تعیین‌کننده تعداد ریشه‌ها است. اگر Δ > 0 دو ریشه، اگر Δ = 0 یک ریشه و اگر Δ < 0 هیچ ریشه‌ای نداریم.