Для решения задачи обозначим некоторые длины сторон трапеции. Пусть:

• $BC = 3x$,
• $AD = 4x$,
• $AM = 8$,
• $MN = 2$,
• необходимо найти длину отрезка $KN$.

Шаг 1: Рассмотрим подобие треугольников

Заметим, что треугольники $AMK$ и $NCD$ подобны по признаку двух углов (углы при вершинах $A$ и $C$ вертикальные, углы при вершинах $M$ и $N$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$).

Шаг 2: Отношение сторон

Так как $BC:AD = 3:4$, то аналогичное отношение будет для соответствующих сторон в подобных треугольниках: $\frac{MK}{KN} = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{4}.$

Шаг 3: Выразим длины отрезков

Обозначим длину отрезка $KN$ как $y$. Тогда длина отрезка $MK$ равна $3y/4$ (из соотношения сторон подобных треугольников).

Длина всего отрезка $AMN$ равна $AM + MN = 8 + 2 = 10$. Так как $MK = AM + MN + KN$, получаем уравнение: $MK = 10 + y.$

Шаг 4: Решение уравнения

Теперь подставим выражение для $MK$ в равенство: $\frac{MK}{KN} = \frac{3}{4}.$ Подставляем $MK = 10 + y$ и $KN = y$: $\frac{10 + y}{y} = \frac{3}{4}.$ Решаем это уравнение: $4(10 + y) = 3y,$ $40 + 4y = 3y,$ $y = 40.$

Ответ:

Длина отрезка $KN = 40$.

Хочешь узнать детали решения или задать вопрос?

Связанные вопросы:

1. Как изменится решение, если $AM = 10$?
2. Можно ли использовать метод пропорций для других трапеций?
3. Как найти длины других отрезков в трапеции с помощью подобных треугольников?
4. Какие ещё существуют методы для решения задач на трапеции?
5. Как найти площадь трапеции, если известны все стороны?

Совет: Для задач на подобие треугольников всегда проверяй наличие углов, которые могут быть равны, чтобы установить подобие.