પ્રશ્ન છે: $(1 + i)^{10}$ નો વાસ્તવિક ભાગ શોધો.

સમાધાન:

પ્રથમ, $1 + i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરીએ.

1. સત્તાધી રૂપ (Polar form) માટે $1 + i$:

   • માપ (Magnitude): $r = |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

   • કોણ (Argument, $\theta$): $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{1} \right) = \frac{\pi}{4}$

   તેથી $1 + i$ નો ધ્રુવીય રૂપ છે: $1 + i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$

2. દશમા ઘાત માટે:

   હવે $(1 + i)^{10}$ નું ધ્રુવીય સ્વરૂપ કાઢીએ: $(1 + i)^{10} = \left( \sqrt{2} \right)^{10} \left( \cos \left( 10 \cdot \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( 10 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \right)$

   • $\left( \sqrt{2} \right)^{10} = 2^5 = 32$
   • $10 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$

   હવે $\frac{5\pi}{2}$ ને $2\pi$ ના ગુણકમાં લાવીશું: $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$ તેથી: $\cos \frac{5\pi}{2} = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ $\sin \frac{5\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

   હવે આ મૂલ્યને મૂકીએ: $(1 + i)^{10} = 32 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 32 (0 + i \cdot 1) = 32i$

3. વાસ્તવિક ભાગ: $32i$ માં વાસ્તવિક ભાગ છે $0$.

અંતિમ ઉત્તર:

$(1 + i)^{10}$ નો વાસ્તવિક ભાગ 0 છે.

---

Do you want more details or have any questions?

Additional Questions:

1. What is the general method to find the imaginary part of a complex number raised to a power?
2. How can De Moivre's Theorem be used in complex number calculations?
3. Why does the real part of $(1 + i)^{10}$ turn out to be zero?
4. What is the geometric interpretation of raising a complex number to a power?
5. How would the result differ if we were asked for the imaginary part instead?

Tip: Always simplify the angle in terms of $2\pi$ to make calculations easier!