För att undersöka om funktionen $f(x) = \frac{\sin^3 x - \tan x}{x^2 + \sqrt{x} + 1}$ antar ett största och ett minsta värde på intervallet $0 \leq x \leq 1$, kan vi följa dessa steg:

1. Kontinuitet och randpunkter: Kontrollera om $f(x)$ är kontinuerlig på det slutna intervallet $[0,1]$. Om $f(x)$ är kontinuerlig på ett slutet och begränsat intervall, garanteras enligt den extrema värdesatsen att $f(x)$ antar både ett största och ett minsta värde i intervallet.

   • Funktionen $f(x)$ består av en kvot av en kontinuerlig täljare $\sin^3 x - \tan x$ och en kontinuerlig nämnare $x^2 + \sqrt{x} + 1$. Eftersom nämnaren är större än noll för $x \in [0, 1]$, är funktionen definierad och kontinuerlig på detta intervall.

2. Derivatan och kritiska punkter: Bestäm $f'(x)$ och undersök var derivatan är noll eller odefinierad inom intervallet. Dessa punkter kallas kritiska punkter, och de kan vara kandidater för största eller minsta värden.

   • Derivera funktionen $f(x)$ med hjälp av kvotregeln: $f'(x) = \frac{(\sin^3 x - \tan x)' (x^2 + \sqrt{x} + 1) - (\sin^3 x - \tan x) (x^2 + \sqrt{x} + 1)'}{(x^2 + \sqrt{x} + 1)^2}$
   • Detta uttryck kan behöva förenklas för att hitta de punkter där $f'(x) = 0$ eller där derivatan är odefinierad inom intervallet.

3. Utvärdera värden vid kritiska punkter och randpunkter: Beräkna $f(x)$ vid eventuella kritiska punkter samt i randpunkterna $x = 0$ och $x = 1$. Dessa värden hjälper oss att identifiera det största och minsta värdet inom intervallet.

4. Slutsats: Om $f(x)$ är kontinuerlig på intervallet och vi har utvärderat funktionen vid alla kritiska punkter och randpunkter, kan vi bestämma vilket som är det största och minsta värdet av $f(x)$ på $[0,1]$.

Vill du ha hjälp med att hitta derivatan i steg 2, eller har du några frågor om stegen ovan?

Relaterade frågor:

1. Hur påverkar diskontinuitet i funktionen möjligheten att hitta extrema värden på ett intervall?
2. Vad innebär extrema värdesatsen och hur tillämpas den på funktioner?
3. Hur kan vi använda derivatan för att hitta maximipunkter och minimipunkter i ett öppet intervall?
4. Hur förändras analysen om intervallet inte är slutet eller om $f(x)$ inte är kontinuerlig?
5. Kan vi använda numeriska metoder för att uppskatta extrema värden för komplexa funktioner?

Tips:

Vid analys av funktioner med kvotuttryck, börja alltid med att säkerställa att nämnaren aldrig är noll inom intervallet, för att bekräfta att funktionen är väldefinierad.