Diketahui fungsi densitas gabungan $f(x, y) = c(4x + 2y + 1)$ dengan batasan $0 \leq x \leq 40$ dan $0 \leq y \leq 2$.

Untuk menentukan nilai $c$, kita harus menggunakan sifat dasar dari fungsi densitas gabungan, yaitu total integral dari fungsi densitas gabungan pada seluruh daerah harus sama dengan 1. Artinya,

$\int_0^{40} \int_0^{2} f(x, y) \, dy \, dx = 1$

Substitusikan fungsi $f(x, y) = c(4x + 2y + 1)$ ke dalam integral:

$\int_0^{40} \int_0^{2} c(4x + 2y + 1) \, dy \, dx = 1$

Kita bisa memecahkan integral tersebut dengan mengerjakan integral bagian dalam terlebih dahulu (terhadap $y$):

$\int_0^2 (4x + 2y + 1) \, dy = \left[ 4xy + y^2 + y \right]_0^2 = 4x(2) + (2)^2 + (2) - \left( 4x(0) + (0)^2 + (0) \right)$

$= 8x + 4 + 2 = 8x + 6$

Sekarang, substitusi hasil ini ke dalam integral terhadap $x$:

$c \int_0^{40} (8x + 6) \, dx = 1$

Kerjakan integral tersebut:

$\int_0^{40} (8x + 6) \, dx = \left[ 4x^2 + 6x \right]_0^{40} = \left( 4(40)^2 + 6(40) \right) - \left( 4(0)^2 + 6(0) \right)$

$= 4(1600) + 240 = 6400 + 240 = 6640$

Jadi,

$c \times 6640 = 1$

Maka, $c = \frac{1}{6640}$.

Nilai $c$ adalah $\frac{1}{6640}$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?

Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Apa yang dimaksud dengan fungsi densitas gabungan?
2. Bagaimana cara menghitung integral ganda?
3. Apa perbedaan antara fungsi densitas marginal dan fungsi densitas gabungan?
4. Bagaimana cara mengecek apakah sebuah fungsi adalah fungsi densitas yang valid?
5. Apa peran konstanta normalisasi $c$ dalam fungsi densitas?

Tip: Dalam soal seperti ini, memastikan daerah integrasi dan batas-batasnya benar sangat penting agar hasilnya akurat.