**Ejercicio 13: Hallar la longitud de la cuerda común a las circunferencias**

**Circunferencias:**

1. x2+y2=5

2. x2+y2−5x=0

Para hallar la longitud de la cuerda común a las dos circunferencias, seguimos los siguientes pasos:

### 1. Escribir las ecuaciones de las circunferencias en forma estándar:

#### Primera circunferencia:
La ecuación es:
\[
x^2 + y^2 = 5
\]
Esta es la forma estándar de una circunferencia, con centro en \( (0,0) \) y radio \( R_1 = \sqrt{5} \).

#### Segunda circunferencia:
La ecuación es:
\[
x^2 + y^2 - 5x = 0
\]
Reorganizamos los términos:
\[
(x^2 - 5x) + y^2 = 0
\]
Completamos el cuadrado en \(x\):
\[
(x^2 - 5x + \left(\frac{5}{2}\right)^2) - \left(\frac{5}{2}\right)^2 + y^2 = 0
\]
\[
(x - \frac{5}{2})^2 + y^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2
\]
Por lo tanto, la ecuación de la segunda circunferencia en forma estándar es:
\[
(x - \frac{5}{2})^2 + y^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2
\]
El centro de esta circunferencia es \(C_2 = \left(\frac{5}{2}, 0\right)\) y su radio es \( R_2 = \frac{5}{2} \).

### 2. Distancia entre los centros de las circunferencias
La distancia entre los centros \( C_1(0, 0) \) y \( C_2\left(\frac{5}{2}, 0\right) \) es:
\[
d = \sqrt{\left(\frac{5}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \frac{5}{2}
\]

### 3. Verificar si las circunferencias se intersectan
Para que haya una cuerda común, la distancia entre los centros debe ser menor que la suma de los radios, pero mayor que la diferencia de los radios.

- Suma de los radios: \( R_1 + R_2 = \sqrt{5} + \frac{5}{2} \)
- Diferencia de los radios: \( |R_1 - R_2| = \left|\sqrt{5} - \frac{5}{2}\right| \)

Calculamos estas cantidades numéricamente:

- \( \sqrt{5} \approx 2.236 \)
- \( \frac{5}{2} = 2.5 \)

Entonces:
- \( R_1 + R_2 \approx 2.236 + 2.5 = 4.736 \)
- \( |R_1 - R_2| \approx \left|2.236 - 2.5\right| = 0.264 \)

La distancia \( d = \frac{5}{2} = 2.5 \) está entre 0.264 y 4.736, por lo tanto, las circunferencias se intersectan y hay una cuerda común.

### 4. Longitud de la cuerda común
La fórmula para la longitud de la cuerda común \( L \) es:
\[
L = 2 \sqrt{R_1^2 - \left(\frac{d^2 + R_1^2 - R_2^2}{2d}\right)^2}
\]
Sustituyendo los valores:

- \( R_1^2 = 5 \)
- \( R_2^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 6.25 \)
- \( d = \frac{5}{2} = 2.5 \)

Calculemos la longitud de la cuerda:

\[
L = 2 \sqrt{5 - \left(\frac{2.5^2 + 5 - 6.25}{2 \times 2.5}\right)^2}
\]

Voy a calcular este valor.It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later.

If you would like, I can guide you through the calculations step by step manually. Let me know if you want that!

Here are five related questions for further exploration:
1. How would the problem change if the distance between the centers was greater than the sum of the radii?
2. How can you geometrically interpret the difference in the radii in relation to the intersection of the circles?
3. What would happen if both circles had the same radius?
4. How does completing the square help in transforming the equation of a circle?
5. How can you generalize the method to find the length of a common chord between any two circles?

**Tip:** When solving geometric problems involving circles, always check the distance between their centers relative to their radii to see if they intersect.

Ejercicio 13: Hallar la longitud de la cuerda común a las circunferencias
Circunferencias:
1. x^2 + y^2 = 5
2. x^2 + y^2 - 5x = 0

Discover how to find the length of the common chord between two circles with detailed step-by-step calculations. This problem involves understanding the geometry of circles, the intersection of circles, and applying key formulas. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation