Math Problem Statement
הוקטורים
(1,1,−1),(−1,2,1)
מקבילים שניהם למשטח הרמה u=16 של הפונקציה u(x,y,z)=x2+y2+z2 באותה הנקודה. מצאו את נקודות ההשקה.
Solution
כדי למצוא את נקודת ההשקה של שני הווקטורים ו- עם משטח הרמה של הפונקציה , עלינו לבדוק היכן הפונקציה מקבלת את הערך 16 ולהראות שהגרדיאנט של הפונקציה בנקודות אלו מקביל לווקטורים הנתונים.
שלב 1: מציאת הנקודות על משטח הרמה
המשוואה של משטח הרמה היא:
שלב 2: חישוב הגרדיאנט של
נחשב את הגרדיאנט של :
שלב 3: חיפוש נקודות שבהן הגרדיאנט מקביל לווקטורים הנתונים
נמצא את הנקודות שבהן הגרדיאנט מקביל לווקטור :
זאת אומרת:
כעת נבדוק מהתנאי ש:
נשתמש בערכי ה-, , ו- מתוך השוויון למעלה:
נחליף בערכים אלו במשוואת המשטח:
נפשט:
מכאן:
נקודת ההשקה הראשונה היא:
חיפוש נקודות שבו הגרדיאנט מקביל לווקטור :
נשווה:
זאת אומרת:
כעת נשתמש בערכי ה-, , ו- מתוך השוויון:
נחליף בערכים אלו במשוואת המשטח:
נפשט:
מכאן:
נקודת ההשקה השנייה היא:
סיכום
נקודות ההשקה הן:
האם תרצה פרטים נוספים או יש לך שאלות נוספות?
שאלות נוספות:
- איך לפתור מערכת משוואות לינארית?
- איך לחשב גרדיאנט של פונקציה?
- איך למצוא וקטור נורמלי למישור?
- איך לחשב אינטגרל של פונקציה?
- איך למצוא את ערכי המקסימום והמינימום של פונקציה?
טיפ:
בעת פתרון בעיות גיאומטריות, וודא שאתה מבין היטב את הקשרים בין הפונקציות לווקטורים ולמשטחים הנדונים.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Vector Geometry
Gradient
Surface Equations
Formulas
Gradient formula
Surface equation for a sphere
Theorems
-
Suitable Grade Level
University Level
Related Recommendation
Finding Intersection Points of Vectors with the Tangent Plane to a Sphere
Find Intersection Points of Vectors with Tangent Plane to Surface u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
Finding Intersection Points of Vectors with Tangent Plane to Surface u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 for u=4
Finding Tangent Points on Level Surface u = 16 Using Lagrange Multipliers
Finding the Point of Intersection Between a Line and a Unit Sphere