הוקטורים

(1,1,−1),(−1,2,1)

מקבילים שניהם למשטח הרמה  u=16 של הפונקציה  u(x,y,z)=x2+y2+z2 באותה הנקודה. מצאו את נקודות ההשקה.

כדי למצוא את נקודת ההשקה של שני הווקטורים \((1,1,-1)\) ו-\((-1,2,1)\) עם משטח הרמה \(u=16\) של הפונקציה \(u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\), עלינו לבדוק היכן הפונקציה \(u(x,y,z)\) מקבלת את הערך 16 ולהראות שהגרדיאנט של הפונקציה בנקודות אלו מקביל לווקטורים הנתונים.

### שלב 1: מציאת הנקודות על משטח הרמה
המשוואה של משטח הרמה \(u=16\) היא:
\[x^2 + y^2 + z^2 = 16\]

### שלב 2: חישוב הגרדיאנט של \(u(x,y,z)\)
נחשב את הגרדיאנט של \(u(x,y,z)\):
\[\nabla u(x,y,z) = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = (2x, 2y, 2z)\]

### שלב 3: חיפוש נקודות שבהן הגרדיאנט מקביל לווקטורים הנתונים

נמצא את הנקודות שבהן הגרדיאנט מקביל לווקטור \((1,1,-1)\):

\[(2x, 2y, 2z) = k(1, 1, -1)\]

זאת אומרת:
\[2x = k\]
\[2y = k\]
\[2z = -k\]

כעת נבדוק מהתנאי ש:
\[x^2 + y^2 + z^2 = 16\]

נשתמש בערכי ה-\(x\), \(y\), ו-\(z\) מתוך השוויון למעלה:
\[x = \frac{k}{2}, y = \frac{k}{2}, z = \frac{-k}{2}\]

נחליף בערכים אלו במשוואת המשטח:
\[\left(\frac{k}{2}\right)^2 + \left(\frac{k}{2}\right)^2 + \left(\frac{-k}{2}\right)^2 = 16\]

נפשט:
\[\frac{k^2}{4} + \frac{k^2}{4} + \frac{k^2}{4} = 16\]
\[\frac{3k^2}{4} = 16\]
\[3k^2 = 64\]
\[k^2 = \frac{64}{3}\]
\[k = \pm\frac{8}{\sqrt{3}}\]

מכאן:
\[x = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\]
\[y = \frac{4\sqrt{3}}{3}\]
\[z = \frac{-4\sqrt{3}}{3}\]

נקודת ההשקה הראשונה היא:
\[\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{3}, \frac{-4\sqrt{3}}{3}\right)\]

### חיפוש נקודות שבו הגרדיאנט מקביל לווקטור \((-1,2,1)\):

נשווה:
\[(2x, 2y, 2z) = k(-1, 2, 1)\]

זאת אומרת:
\[2x = -k\]
\[2y = 2k\]
\[2z = k\]

כעת נשתמש בערכי ה-\(x\), \(y\), ו-\(z\) מתוך השוויון:
\[x = \frac{-k}{2}, y = k, z = \frac{k}{2}\]

נחליף בערכים אלו במשוואת המשטח:
\[\left(\frac{-k}{2}\right)^2 + k^2 + \left(\frac{k}{2}\right)^2 = 16\]

נפשט:
\[\frac{k^2}{4} + k^2 + \frac{k^2}{4} = 16\]
\[\frac{k^2}{4} + k^2 + \frac{k^2}{4} = 16\]
\[\frac{3k^2}{2} = 16\]
\[3k^2 = 32\]
\[k^2 = \frac{32}{3}\]
\[k = \pm\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\]

מכאן:
\[x = \frac{-4\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2\sqrt{6}}{3}\]
\[y = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\]
\[z = \frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\]

נקודת ההשקה השנייה היא:
\[\left(\frac{-2\sqrt{6}}{3}, \frac{4\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)\]

### סיכום

נקודות ההשקה הן:
1. \(\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{3}, \frac{-4\sqrt{3}}{3}\right)\)
2. \(\left(\frac{-2\sqrt{6}}{3}, \frac{4\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)\)

האם תרצה פרטים נוספים או יש לך שאלות נוספות?

### שאלות נוספות:
1. איך לפתור מערכת משוואות לינארית?
2. איך לחשב גרדיאנט של פונקציה?
3. איך למצוא וקטור נורמלי למישור?
4. איך לחשב אינטגרל של פונקציה?
5. איך למצוא את ערכי המקסימום והמינימום של פונקציה?

### טיפ:
בעת פתרון בעיות גיאומטריות, וודא שאתה מבין היטב את הקשרים בין הפונקציות לווקטורים ולמשטחים הנדונים.

Learn how to find intersection points of vectors (1,1,-1) and (-1,2,1) with the surface u=16 of the function u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2. This problem involves vector geometry, gradients, and surface equations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation