Math Problem Statement

הוקטורים

(1,1,−1),(−1,2,1)

מקבילים שניהם למשטח הרמה u=16 של הפונקציה u(x,y,z)=x2+y2+z2 באותה הנקודה. מצאו את נקודות ההשקה.

Solution

כדי למצוא את נקודת ההשקה של שני הווקטורים (1,1,1)(1,1,-1) ו-(1,2,1)(-1,2,1) עם משטח הרמה u=16u=16 של הפונקציה u(x,y,z)=x2+y2+z2u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, עלינו לבדוק היכן הפונקציה u(x,y,z)u(x,y,z) מקבלת את הערך 16 ולהראות שהגרדיאנט של הפונקציה בנקודות אלו מקביל לווקטורים הנתונים.

שלב 1: מציאת הנקודות על משטח הרמה

המשוואה של משטח הרמה u=16u=16 היא: x2+y2+z2=16x^2 + y^2 + z^2 = 16

שלב 2: חישוב הגרדיאנט של u(x,y,z)u(x,y,z)

נחשב את הגרדיאנט של u(x,y,z)u(x,y,z): u(x,y,z)=(ux,uy,uz)=(2x,2y,2z)\nabla u(x,y,z) = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = (2x, 2y, 2z)

שלב 3: חיפוש נקודות שבהן הגרדיאנט מקביל לווקטורים הנתונים

נמצא את הנקודות שבהן הגרדיאנט מקביל לווקטור (1,1,1)(1,1,-1):

(2x,2y,2z)=k(1,1,1)(2x, 2y, 2z) = k(1, 1, -1)

זאת אומרת: 2x=k2x = k 2y=k2y = k 2z=k2z = -k

כעת נבדוק מהתנאי ש: x2+y2+z2=16x^2 + y^2 + z^2 = 16

נשתמש בערכי ה-xx, yy, ו-zz מתוך השוויון למעלה: x=k2,y=k2,z=k2x = \frac{k}{2}, y = \frac{k}{2}, z = \frac{-k}{2}

נחליף בערכים אלו במשוואת המשטח: (k2)2+(k2)2+(k2)2=16\left(\frac{k}{2}\right)^2 + \left(\frac{k}{2}\right)^2 + \left(\frac{-k}{2}\right)^2 = 16

נפשט: k24+k24+k24=16\frac{k^2}{4} + \frac{k^2}{4} + \frac{k^2}{4} = 16 3k24=16\frac{3k^2}{4} = 16 3k2=643k^2 = 64 k2=643k^2 = \frac{64}{3} k=±83k = \pm\frac{8}{\sqrt{3}}

מכאן: x=823=433x = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} y=433y = \frac{4\sqrt{3}}{3} z=433z = \frac{-4\sqrt{3}}{3}

נקודת ההשקה הראשונה היא: (433,433,433)\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{3}, \frac{-4\sqrt{3}}{3}\right)

חיפוש נקודות שבו הגרדיאנט מקביל לווקטור (1,2,1)(-1,2,1):

נשווה: (2x,2y,2z)=k(1,2,1)(2x, 2y, 2z) = k(-1, 2, 1)

זאת אומרת: 2x=k2x = -k 2y=2k2y = 2k 2z=k2z = k

כעת נשתמש בערכי ה-xx, yy, ו-zz מתוך השוויון: x=k2,y=k,z=k2x = \frac{-k}{2}, y = k, z = \frac{k}{2}

נחליף בערכים אלו במשוואת המשטח: (k2)2+k2+(k2)2=16\left(\frac{-k}{2}\right)^2 + k^2 + \left(\frac{k}{2}\right)^2 = 16

נפשט: k24+k2+k24=16\frac{k^2}{4} + k^2 + \frac{k^2}{4} = 16 k24+k2+k24=16\frac{k^2}{4} + k^2 + \frac{k^2}{4} = 16 3k22=16\frac{3k^2}{2} = 16 3k2=323k^2 = 32 k2=323k^2 = \frac{32}{3} k=±423k = \pm\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

מכאן: x=4223=263x = \frac{-4\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2\sqrt{6}}{3} y=423=463y = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3} z=4223=263z = \frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}

נקודת ההשקה השנייה היא: (263,463,263)\left(\frac{-2\sqrt{6}}{3}, \frac{4\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)

סיכום

נקודות ההשקה הן:

  1. (433,433,433)\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{3}, \frac{-4\sqrt{3}}{3}\right)
  2. (263,463,263)\left(\frac{-2\sqrt{6}}{3}, \frac{4\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)

האם תרצה פרטים נוספים או יש לך שאלות נוספות?

שאלות נוספות:

  1. איך לפתור מערכת משוואות לינארית?
  2. איך לחשב גרדיאנט של פונקציה?
  3. איך למצוא וקטור נורמלי למישור?
  4. איך לחשב אינטגרל של פונקציה?
  5. איך למצוא את ערכי המקסימום והמינימום של פונקציה?

טיפ:

בעת פתרון בעיות גיאומטריות, וודא שאתה מבין היטב את הקשרים בין הפונקציות לווקטורים ולמשטחים הנדונים.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Vector Geometry
Gradient
Surface Equations

Formulas

Gradient formula
Surface equation for a sphere

Theorems

-

Suitable Grade Level

University Level