הוקטורים 

(3,2,−3),(−1,3,1)

 מקבילים שניהם למישור המשיק של משטח הרמה  של הפונקציה  u(x,y,z)=x2+y2+z2

 עבור u=4

 . מצאו את נקודות ההשקה.

כדי למצוא את נקודות ההשקה של הווקטורים \((3,2,-3)\) ו-\((-1,3,1)\) עם מישור המשיק של משטח הרמה \(u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\) עבור \(u=4\), נבצע את השלבים הבאים:

1. **נמצא את הגרדיאנט של הפונקציה \(u\):**

   הפונקציה \(u(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\) היא פונקציה סקלרית, ולכן נוכל למצוא את הגרדיאנט שלה כדי לקבל את הנורמל של המשטח:
   \[
   \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = (2x, 2y, 2z)
   \]
   
   עבור \(u = 4\):
   \[
   x^2 + y^2 + z^2 = 4
   \]

2. **נמצא את הווקטורים שניתנים למישור המשיק:**

   הווקטורים \((3,2,-3)\) ו-\((-1,3,1)\) הם מקבילים למישור המשיק, ולכן הנורמל למישור יהיה ניצב לשני הווקטורים האלו.

3. **נחשב את המכפלה הוקטורית:**

   נחשב את המכפלה הוקטורית כדי למצוא את הנורמל:
   \[
   \mathbf{n} = (3, 2, -3) \times (-1, 3, 1) = \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
   3 & 2 & -3 \\
   -1 & 3 & 1
   \end{vmatrix}
   \]
   \[
   \mathbf{n} = \mathbf{i} (2 \cdot 1 - (-3) \cdot 3) - \mathbf{j} (3 \cdot 1 - (-3) \cdot (-1)) + \mathbf{k} (3 \cdot 3 - 2 \cdot (-1))
   \]
   \[
   \mathbf{n} = \mathbf{i} (2 + 9) - \mathbf{j} (3 - 3) + \mathbf{k} (9 + 2)
   \]
   \[
   \mathbf{n} = 11\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 11\mathbf{k}
   \]

   הנורמל למשטח הרמה בנקודות ההשקה יהיה במקביל לנורמל למישור המשיק.

4. **נמצא את נקודות ההשקה:**

   הנורמל למשטח הרמה \(u = 4\) ניתן על ידי:
   \[
   \nabla u = (2x, 2y, 2z) = k(11, 0, 11)
   \]
   
   מה שמוביל למשוואות:
   \[
   2x = 11k, \quad 2y = 0, \quad 2z = 11k
   \]

   נפתור עבור \(x, y, z\):
   \[
   x = \frac{11}{2}k, \quad y = 0, \quad z = \frac{11}{2}k
   \]
   
   בנוסף, נצטרך לספק את משוואת המשטח \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\):
   \[
   \left(\frac{11}{2}k\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{11}{2}k\right)^2 = 4
   \]
   \[
   \frac{121}{4}k^2 + \frac{121}{4}k^2 = 4
   \]
   \[
   \frac{242}{4}k^2 = 4
   \]
   \[
   60.5k^2 = 4
   \]
   \[
   k^2 = \frac{4}{60.5}
   \]
   \[
   k = \pm\sqrt{\frac{4}{60.5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{60.5}}
   \]

   נמצא את הנקודות:
   \[
   k = \frac{2}{\sqrt{60.5}}
   \]
   \[
   x = \frac{11}{2}k = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{60.5}} = \frac{11}{\sqrt{60.5}}
   \]
   \[
   y = 0
   \]
   \[
   z = \frac{11}{2}k = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{60.5}} = \frac{11}{\sqrt{60.5}}
   \]

   הנקודה הראשונה:
   \[
   \left(\frac{11}{\sqrt{60.5}}, 0, \frac{11}{\sqrt{60.5}}\right)
   \]

   \[
   k = -\frac{2}{\sqrt{60.5}}
   \]
   \[
   x = \frac{11}{2}k = \frac{11}{2} \cdot -\frac{2}{\sqrt{60.5}} = -\frac{11}{\sqrt{60.5}}
   \]
   \[
   y = 0
   \]
   \[
   z = \frac{11}{2}k = \frac{11}{2} \cdot -\frac{2}{\sqrt{60.5}} = -\frac{11}{\sqrt{60.5}}
   \]

   הנקודה השנייה:
   \[
   \left(-\frac{11}{\sqrt{60.5}}, 0, -\frac{11}{\sqrt{60.5}}\right)
   \]

**תשובה:**
נקודות ההשקה הן:
1. \(\left(\frac{11}{\sqrt{60.5}}, 0, \frac{11}{\sqrt{60.5}}\right)\)
2. \(\left(-\frac{11}{\sqrt{60.5}}, 0, -\frac{11}{\sqrt{60.5}}\right)\)

האם תרצה פרטים נוספים או יש לך שאלות נוספות?

**שאלות להמשך:**
1. כיצד ניתן

Learn how to find intersection points of vectors \((3,2,-3)\) and \((-1,3,1)\) with the tangent plane to the surface given by \( u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \) for \( u=4 \). Detailed solution includes gradient calculation and cross product analysis. Suitable for advanced undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation