כדי למצוא את נקודות ההשקה של הווקטורים $(3,2,-3)$ ו-$(-1,3,1)$ עם מישור המשיק של משטח הרמה $u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ עבור $u=4$, נבצע את השלבים הבאים:

1. נמצא את הגרדיאנט של הפונקציה $u$:

   הפונקציה $u(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ היא פונקציה סקלרית, ולכן נוכל למצוא את הגרדיאנט שלה כדי לקבל את הנורמל של המשטח: $\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = (2x, 2y, 2z)$

   עבור $u = 4$: $x^2 + y^2 + z^2 = 4$

2. נמצא את הווקטורים שניתנים למישור המשיק:

   הווקטורים $(3,2,-3)$ ו-$(-1,3,1)$ הם מקבילים למישור המשיק, ולכן הנורמל למישור יהיה ניצב לשני הווקטורים האלו.

3. נחשב את המכפלה הוקטורית:

   נחשב את המכפלה הוקטורית כדי למצוא את הנורמל:

   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\mathbf{n} = \mathbf{i} (2 \cdot 1 - (-3) \cdot 3) - \mathbf{j} (3 \cdot 1 - (-3) \cdot (-1)) + \mathbf{k} (3 \cdot 3 - 2 \cdot (-1))$$ $$\mathbf{n} = \mathbf{i} (2 + 9) - \mathbf{j} (3 - 3) + \mathbf{k} (9 + 2)$$ $$\mathbf{n} = 11\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 11\mathbf{k}$$ הנורמל למשטח הרמה בנקודות ההשקה יהיה במקביל לנורמל למישור המשיק.

4. נמצא את נקודות ההשקה:

   הנורמל למשטח הרמה $u = 4$ ניתן על ידי: $\nabla u = (2x, 2y, 2z) = k(11, 0, 11)$

   מה שמוביל למשוואות: $2x = 11k, \quad 2y = 0, \quad 2z = 11k$

   נפתור עבור $x, y, z$: $x = \frac{11}{2}k, \quad y = 0, \quad z = \frac{11}{2}k$

   בנוסף, נצטרך לספק את משוואת המשטח $x^2 + y^2 + z^2 = 4$: $\left(\frac{11}{2}k\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{11}{2}k\right)^2 = 4$ $\frac{121}{4}k^2 + \frac{121}{4}k^2 = 4$ $\frac{242}{4}k^2 = 4$ $60.5k^2 = 4$ $k^2 = \frac{4}{60.5}$ $k = \pm\sqrt{\frac{4}{60.5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{60.5}}$

   נמצא את הנקודות: $k = \frac{2}{\sqrt{60.5}}$ $x = \frac{11}{2}k = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{60.5}} = \frac{11}{\sqrt{60.5}}$ $y = 0$ $z = \frac{11}{2}k = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{60.5}} = \frac{11}{\sqrt{60.5}}$

   הנקודה הראשונה: $\left(\frac{11}{\sqrt{60.5}}, 0, \frac{11}{\sqrt{60.5}}\right)$

   $k = -\frac{2}{\sqrt{60.5}}$ $x = \frac{11}{2}k = \frac{11}{2} \cdot -\frac{2}{\sqrt{60.5}} = -\frac{11}{\sqrt{60.5}}$ $y = 0$ $z = \frac{11}{2}k = \frac{11}{2} \cdot -\frac{2}{\sqrt{60.5}} = -\frac{11}{\sqrt{60.5}}$

   הנקודה השנייה: $\left(-\frac{11}{\sqrt{60.5}}, 0, -\frac{11}{\sqrt{60.5}}\right)$

תשובה: נקודות ההשקה הן:

1. $\left(\frac{11}{\sqrt{60.5}}, 0, \frac{11}{\sqrt{60.5}}\right)$
2. $\left(-\frac{11}{\sqrt{60.5}}, 0, -\frac{11}{\sqrt{60.5}}\right)$

האם תרצה פרטים נוספים או יש לך שאלות נוספות?

שאלות להמשך:

1. כיצד ניתן