Чтобы решить задачу по примеру на оранжевом изображении, я последую этим шагам:

1. Найти характеристическое уравнение: Вычислим определитель $\det(A - \lambda E)$ для заданной матрицы, чтобы найти собственные числа $\lambda$.

2. Решить характеристическое уравнение: Разложим определитель и решим уравнение для нахождения собственных чисел $\lambda_1, \lambda_2, \dots$.

3. Найти собственные векторы: Для каждого найденного собственного числа решим систему $(A - \lambda E)x = 0$, чтобы найти соответствующий собственный вектор.

4. Проверить фундаментальность: Проверим, чтобы собственные векторы были линейно независимы и составляли базис пространства.

Сейчас я начну решение на основе данных из as sp

Define the given matrix A

A = sp.Matrix([[6, -2, -2], [2, 1, 1], [-5, 1, -1]])

Define the variable for eigenvalues

λ = sp.symbols('λ')

Calculate the characteristic polynomial det(A - λI)

char_poly = (A - λ * sp.eye(3)).det()

Solve the characteristic equation

eigenvalues = sp.solve(char_poly, λ)

EigenvaluesХарактеристическое уравнение для данной матрицы:

$-\lambda^3 + 6\lambda^2 + 8\lambda - 20 = 0$

Его аналитическое решение выглядит громоздко, так как содержит комплексные корни. Давайте я решу задачу численно для нахождения собственных чисел и векторов, чтобы продолжить решение. eigenvalues numerically for simplicity eigenvalues_numeric = sp.N(eigenvalues)

Find eigenvectors for each eigenvalue

eigenvectors = [A.eigenvects() for val in eigenvalues_numeric]

eigenvaluesПроизошла ошибка при численном нахождении собственных чисел. Попробуем разложить решение по шагам вручную и посчитать собственные числа libraries to compute eigenvalues and eigenvectors import numpy as np

Convert sympy matrix to numpy array

A_np = np.array(A.tolist(), dtype=float)

Compute eigenvalues and eigenvectors

eigenvalues_np, eigenvectors_np = np.linalg.eig(A_np)

eigenvalues_np, eigenvectorsЧисленные значения собственных чисел и соответствующих собственных векторов для матрицы $A$:

Собственные числа:

• $\lambda_1 = 6.746$
• $\lambda_2 = -2.135$
• $\lambda_3 = 1.389$

Собственные векторы:

• Для $\lambda_1$: $\begin{pmatrix} 0.835 \\ 0.201 \\ -0.513 \end{pmatrix}$
• Для $\lambda_2$: $\begin{pmatrix} 0.133 \\ -0.377 \\ 0.917 \end{pmatrix}$
• Для $\lambda_3$: $\begin{pmatrix} 0.298 \\ 0.925 \\ -0.237 \end{pmatrix}$

Если необходимо, я могу оформить эти результаты в формате, аналогичном примерам из предоставленных изображений, или продолжить дальше. Вы хотите что-то уточнить?

---

1. Хотите узнать, как эти значения были вычислены?
2. Нужна ли проверка линейной независимости собственных векторов?
3. Оставить только численные результаты для краткости?
4. Продолжить создание фундаментальной системы решений?
5. Оформить результаты в формате примеров с изображения?

Совет: Всегда проверяйте ортогональность собственных векторов при составлении базиса, если матрица симметрична