Il passaggio che hai riportato sembra trattare la ricerca dei punti critici di una funzione utilizzando le derivate parziali. Proverò a chiarirlo e a spiegare meglio cosa accade.

Trovare i punti critici

I punti critici di una funzione a più variabili si trovano quando tutte le derivate parziali prime della funzione rispetto a ciascuna variabile sono uguali a zero contemporaneamente.

Supponiamo di avere una funzione $f(x, y)$ in due variabili, $x$ e $y$, e cerchiamo i punti critici. Dobbiamo calcolare le derivate parziali di $f$ rispetto a $x$ e $y$, cioè: $\frac{\partial f}{\partial x} \quad \text{e} \quad \frac{\partial f}{\partial y}$ Quindi, poniamo entrambe le derivate uguali a zero per trovare i punti critici.

Esempio: Derivate uguali a zero

Nel testo che hai riportato, sembra che le derivate siano state calcolate e poste uguali a zero:

1. La prima derivata parziale rispetto a $x$ è: $2x + x_2 + y^2 = 0$ Da questa equazione sembra che si stia cercando di esprimere una relazione fra $x$, $y$, e forse una costante $x_2$.

2. La seconda derivata parziale rispetto a $y$ è: $2y + x_2 + y^2 = 0$

L'obiettivo è trovare le soluzioni di queste equazioni per $x$ e $y$, cioè i punti critici.

Passo 1: Risolvere le equazioni

Sembra che il passaggio successivo sia semplificare queste equazioni. Ad esempio, se le derivate sono entrambe uguali a zero:

$2x + x_2 + y^2 = 0 \quad \text{e} \quad 2y + x_2 + y^2 = 0$

Si cerca il punto $(x, y)$ che soddisfi entrambe le equazioni contemporaneamente.

Passo 2: Soluzione (0,0)

Secondo la spiegazione fornita, la soluzione trovata è $(x, y) = (0, 0)$. Questo significa che l'unico punto in cui entrambe le derivate sono uguali a zero contemporaneamente è l'origine, cioè $(0, 0)$.

Il punto $(0, 0)$ è quindi un punto critico della funzione.

---

Vuoi approfondire qualche dettaglio specifico del procedimento?

Domande relative:

1. Come si calcolano le derivate parziali di una funzione a due variabili?
2. Quali sono le condizioni per classificare i punti critici come massimi, minimi o punti di sella?
3. Cosa rappresentano i punti critici in geometria?
4. Quali sono i passaggi successivi dopo aver trovato i punti critici?
5. Come si usa la matrice Hessiana per analizzare la natura dei punti critici?

Tip: Per classificare un punto critico, oltre a trovare dove le derivate si annullano, è utile analizzare anche il segno delle derivate seconde (con la matrice Hessiana).