A(-3;-2) B(6;8) C(14;4)
Знайти рівняння та довжину висоти СФ чи СН трикутника АВС.
У відповіді повинно бути:
1)висота
2)рівняння довжини.

Для знаходження рівняння висоти та її довжини в трикутнику \(ABC\), де дано координати вершин \(A(-3; -2)\), \(B(6; 8)\) та \(C(14; 4)\), діємо поетапно:

### 1. Визначення рівняння висоти \(СH\)

Висота трикутника завжди перпендикулярна до протилежної сторони, тому, щоб знайти рівняння висоти, яка проходить через точку \(C(14; 4)\) і перпендикулярна до прямої \(AB\), спочатку знайдемо рівняння прямої \(AB\).

#### Крок 1: Знайдемо рівняння прямої \(AB\)

Загальне рівняння прямої в площині має вигляд:

\[
y = kx + b
\]

Для початку знайдемо кутовий коефіцієнт \(k\), який дорівнює тангенсу кута нахилу прямої:

\[
k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{8 - (-2)}{6 - (-3)} = \frac{8 + 2}{6 + 3} = \frac{10}{9}
\]

Отже, рівняння прямої \(AB\):

\[
y = \frac{10}{9}x + b
\]

Підставимо координати однієї з точок, наприклад \(A(-3; -2)\), для знаходження \(b\):

\[
-2 = \frac{10}{9}(-3) + b
\]

\[
-2 = -\frac{30}{9} + b
\]

\[
-2 = -\frac{10}{3} + b
\]

\[
b = -2 + \frac{10}{3} = \frac{-6 + 10}{3} = \frac{4}{3}
\]

Отже, рівняння прямої \(AB\):

\[
y = \frac{10}{9}x + \frac{4}{3}
\]

#### Крок 2: Знайдемо рівняння перпендикулярної прямої (висоти \(CH\))

Коефіцієнт нахилу для прямої, що перпендикулярна до \(AB\), буде оберненим і з протилежним знаком. Якщо кутовий коефіцієнт прямої \(AB\) дорівнює \(\frac{10}{9}\), то кутовий коефіцієнт перпендикуляра буде:

\[
k_{перпендикуляр} = -\frac{9}{10}
\]

Тепер можемо записати рівняння висоти, що проходить через точку \(C(14; 4)\):

\[
y - 4 = -\frac{9}{10}(x - 14)
\]

Розкриємо дужки:

\[
y - 4 = -\frac{9}{10}x + \frac{9}{10} \cdot 14
\]

\[
y - 4 = -\frac{9}{10}x + \frac{126}{10}
\]

\[
y - 4 = -\frac{9}{10}x + 12.6
\]

Додаємо \(4\) до обох частин рівняння:

\[
y = -\frac{9}{10}x + 16.6
\]

Це рівняння висоти \(CH\).

### 2. Довжина висоти \(CH\)

Довжину висоти можемо знайти, використовуючи формулу відстані від точки до прямої. Відстань від точки \(C(14; 4)\) до прямої \(AB\) описується формулою:

\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

де \(Ax + By + C = 0\) — рівняння прямої в загальному вигляді. Пряму \(AB\) запишемо у вигляді:

\[
\frac{10}{9}x - y + \frac{4}{3} = 0
\]

Помножимо на 9, щоб позбутися знаменників:

\[
10x - 9y + 12 = 0
\]

Отже, \(A = 10\), \(B = -9\), \(C = 12\). Підставимо координати точки \(C(14; 4)\) у формулу для відстані:

\[
d = \frac{|10 \cdot 14 - 9 \cdot 4 + 12|}{\sqrt{10^2 + (-9)^2}} = \frac{|140 - 36 + 12|}{\sqrt{100 + 81}} = \frac{|116|}{\sqrt{181}} = \frac{116}{\sqrt{181}}
\]

\[
d \approx \frac{116}{13.45} \approx 8.63
\]

Отже, довжина висоти \(CH\) приблизно дорівнює 8.63 одиниць.

---

Чи потрібні додаткові пояснення або деталі?

### Відповідні питання:
1. Як знаходити висоту в трикутнику в загальному випадку?
2. Чому для перпендикулярної прямої потрібно використовувати обернений коефіцієнт нахилу?
3. Як перевірити, що отримане рівняння прямої правильне?
4. Що означає кутовий коефіцієнт прямої і як його використовувати?
5. Як зміниться формула, якщо трикутник не є прямокутним?

### Порада:
Для швидшого розрахунку перпендикулярних прямих, завжди тримайте в пам'яті, що їх кутові коефіцієнти — це обернені значення з протилежними знаками.

A(-3;-2) B(6;8) C(14;4) Знайти рівняння та довжину висоти СФ чи СН трикутника АВС.

Learn how to find the equation and length of the altitude from point C to side AB in triangle ABC. This problem utilizes core geometry concepts such as the slope formula, perpendicular lines, and the distance formula. Detailed steps make it suitable for Grades 9-11.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation