s,tは実数の定数でs>1である　ベクトルOP=cosθ(2,s,1)+sinθ(-1,2,t)+(4,3,1)　を満たす点Pの軌跡が円周となるとき、s,tの値とその円の中心の座標、半径を求めよ

ベクトル \(\mathbf{OP}\) が次のように与えられています:

\[
\mathbf{OP} = \cos\theta \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ 1 \end{pmatrix} + \sin\theta \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ t \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

このベクトルが動点 \(P\) の軌跡を表し、軌跡が円周であるとき、定数 \(s\) および \(t\) の値を求め、円の中心と半径を求めます。

### 1. ベクトル \(\mathbf{OP}\) の展開

まず、\(\cos\theta\) と \(\sin\theta\) の項を展開します:

\[
\mathbf{OP} = \begin{pmatrix} 2\cos\theta - \sin\theta + 4 \\ s\cos\theta + 2\sin\theta + 3 \\ \cos\theta + t\sin\theta + 1 \end{pmatrix}
\]

ここで、各成分を次の形に書き直します:

\[
\mathbf{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \cos\theta \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ 1 \end{pmatrix} + \sin\theta \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ t \end{pmatrix}
\]

### 2. 円周条件

軌跡が円周であるためには、\(\cos\theta\) と \(\sin\theta\) に関する係数ベクトルが垂直である必要があります。つまり、次の条件が成立します:

\[
\begin{pmatrix} 2 \\ s \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ t \end{pmatrix} = 0
\]

内積を計算すると:

\[
2(-1) + s(2) + 1(t) = -2 + 2s + t = 0
\]

したがって、\(t = 2 - 2s\) となります。

### 3. \(s\) と \(t\) の値

\(s\) は与えられた条件 \(s > 1\) を満たさなければなりません。したがって、\(t\) は次のように表されます:

\[
t = 2 - 2s
\]

### 4. 円の中心と半径

円の中心は、定数項で与えられるベクトルです:

\[
\mathbf{OC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

また、円の半径 \(r\) は、\(\cos\theta\) と \(\sin\theta\) に関する係数ベクトルの長さです。まず、次のベクトルの長さを計算します:

\[
\sqrt{2^2 + s^2 + 1^2} = \sqrt{4 + s^2 + 1} = \sqrt{s^2 + 5}
\]

したがって、円の半径は \(\sqrt{s^2 + 5}\) です。

### 最終結果

- \(s\) の値: 任意の \(s > 1\)
- \(t\) の値: \(t = 2 - 2s\)
- 円の中心: \((4, 3, 1)\)
- 円の半径: \(\sqrt{s^2 + 5}\)

これで、問題が解決しました。他に質問や詳細が必要であれば教えてください。

#### 練習問題
1. \(s = 2\) の場合の \(t\) の値と半径を求めよ。
2. \(s = \frac{3}{2}\) の場合の軌跡の円の半径を求めよ。
3. \(\mathbf{OP}\) の式が平面上の円の軌跡を作るための \(s\) の条件を考察せよ。
4. 円の中心が原点となるような \(s\) と \(t\) の関係を求めよ。
5. \(s = 3\) のとき、軌跡の円周の長さを求めよ。
6. \(\mathbf{OP}\) の式において、\(\sin\theta\) の係数が 3 である場合を考察せよ。
7. 軌跡が楕円となる場合、どのような条件が必要かを考えよ。
8. 円の半径が5のとき、\(s\) の値を求めよ。

#### ヒント
- 内積の条件を利用することで、円の中心や半径の情報を簡単に得ることができます。

Learn how to find the values of s and t for a circular trajectory described by vector OP = cosθ(2, s, 1) + sinθ(-1, 2, t) + (4, 3, 1). This problem involves vectors, trigonometry, and geometry. Suitable for advanced high school students and beyond.

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