Diberikan fungsi f sebagai berikut } f(x) = x², (2x+3) x<=a x>a Tentukanlah nilai a agar fungsi tersebut kontinu di seluruh bilangan riil.

Diberikan fungsi \( f(x) \) sebagai berikut:

\[
f(x) = 
\begin{cases} 
x^2 & \text{untuk} \ x \leq a \\
2x + 3 & \text{untuk} \ x > a
\end{cases}
\]

Agar fungsi \( f(x) \) kontinu di seluruh bilangan riil, kita harus memastikan bahwa \( f(x) \) tidak memiliki loncatan di \( x = a \). Dengan kata lain, nilai \( f(a) \) dari sisi kiri harus sama dengan nilai \( f(a) \) dari sisi kanan.

### Langkah-langkah:
1. Fungsi \( f(x) \) harus kontinu di \( x = a \), maka:
   \[
   \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)
   \]
   Artinya, fungsi dari sisi kiri (didefinisikan oleh \( f(x) = x^2 \)) harus sama dengan fungsi dari sisi kanan (didefinisikan oleh \( f(x) = 2x + 3 \)) pada titik \( x = a \).

2. Dari sisi kiri (\( x \leq a \)), \( f(a) = a^2 \).

3. Dari sisi kanan (\( x > a \)), \( f(a) = 2a + 3 \).

4. Karena fungsi kontinu di \( x = a \), kita dapat menyetarakan kedua nilai ini:
   \[
   a^2 = 2a + 3
   \]

5. Selesaikan persamaan kuadrat tersebut:
   \[
   a^2 - 2a - 3 = 0
   \]
   Faktorkan persamaan:
   \[
   (a - 3)(a + 1) = 0
   \]

6. Jadi, \( a = 3 \) atau \( a = -1 \).

### Verifikasi:
- Jika \( a = 3 \):
  - Dari sisi kiri: \( f(3) = 3^2 = 9 \)
  - Dari sisi kanan: \( f(3) = 2(3) + 3 = 9 \)
  - Kedua nilai sama, sehingga \( a = 3 \) memenuhi syarat kekontinuan.

- Jika \( a = -1 \):
  - Dari sisi kiri: \( f(-1) = (-1)^2 = 1 \)
  - Dari sisi kanan: \( f(-1) = 2(-1) + 3 = 1 \)
  - Kedua nilai sama, sehingga \( a = -1 \) juga memenuhi syarat kekontinuan.

### Kesimpulan:
Nilai \( a \) agar fungsi tersebut kontinu di seluruh bilangan riil adalah \( a = 3 \) atau \( a = -1 \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? 

**Pertanyaan terkait:**
1. Apa definisi dari kekontinuan fungsi secara umum?
2. Bagaimana cara menentukan kekontinuan fungsi pada titik tertentu?
3. Bagaimana jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi?
4. Apa hubungan antara kekontinuan dan limit fungsi?
5. Bagaimana jika fungsi memiliki lebih dari dua bagian (piecewise)?

**Tip:** Saat menguji kekontinuan, selalu bandingkan limit dari kedua sisi untuk memastikan nilai fungsi tetap sama.

Diberikan fungsi f sebagai berikut: f(x) = x² untuk x <= a dan 2x + 3 untuk x > a. Tentukanlah nilai a agar fungsi tersebut kontinu di seluruh bilangan riil.

Determine the value of 'a' to make the piecewise function f(x) = x² for x ≤ a and f(x) = 2x + 3 for x > a continuous for all real numbers. This problem involves quadratic equations, continuity, and limits. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation