Math Problem Statement
Diberikan fungsi f sebagai berikut } f(x) = x², (2x+3) x<=a x>a Tentukanlah nilai a agar fungsi tersebut kontinu di seluruh bilangan riil.
Solution
Diberikan fungsi sebagai berikut:
\begin{cases} x^2 & \text{untuk} \ x \leq a \\ 2x + 3 & \text{untuk} \ x > a \end{cases}$$ Agar fungsi $$f(x)$$ kontinu di seluruh bilangan riil, kita harus memastikan bahwa $$f(x)$$ tidak memiliki loncatan di $$x = a$$. Dengan kata lain, nilai $$f(a)$$ dari sisi kiri harus sama dengan nilai $$f(a)$$ dari sisi kanan. ### Langkah-langkah: 1. Fungsi $$f(x)$$ harus kontinu di $$x = a$$, maka: $$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$$ Artinya, fungsi dari sisi kiri (didefinisikan oleh $$f(x) = x^2$$) harus sama dengan fungsi dari sisi kanan (didefinisikan oleh $$f(x) = 2x + 3$$) pada titik $$x = a$$. 2. Dari sisi kiri ($$x \leq a$$), $$f(a) = a^2$$. 3. Dari sisi kanan ($$x > a$$), $$f(a) = 2a + 3$$. 4. Karena fungsi kontinu di $$x = a$$, kita dapat menyetarakan kedua nilai ini: $$a^2 = 2a + 3$$ 5. Selesaikan persamaan kuadrat tersebut: $$a^2 - 2a - 3 = 0$$ Faktorkan persamaan: $$(a - 3)(a + 1) = 0$$ 6. Jadi, $$a = 3$$ atau $$a = -1$$. ### Verifikasi: - Jika $$a = 3$$: - Dari sisi kiri: $$f(3) = 3^2 = 9$$ - Dari sisi kanan: $$f(3) = 2(3) + 3 = 9$$ - Kedua nilai sama, sehingga $$a = 3$$ memenuhi syarat kekontinuan. - Jika $$a = -1$$: - Dari sisi kiri: $$f(-1) = (-1)^2 = 1$$ - Dari sisi kanan: $$f(-1) = 2(-1) + 3 = 1$$ - Kedua nilai sama, sehingga $$a = -1$$ juga memenuhi syarat kekontinuan. ### Kesimpulan: Nilai $$a$$ agar fungsi tersebut kontinu di seluruh bilangan riil adalah $$a = 3$$ atau $$a = -1$$. Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? **Pertanyaan terkait:** 1. Apa definisi dari kekontinuan fungsi secara umum? 2. Bagaimana cara menentukan kekontinuan fungsi pada titik tertentu? 3. Bagaimana jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi? 4. Apa hubungan antara kekontinuan dan limit fungsi? 5. Bagaimana jika fungsi memiliki lebih dari dua bagian (piecewise)? **Tip:** Saat menguji kekontinuan, selalu bandingkan limit dari kedua sisi untuk memastikan nilai fungsi tetap sama.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Continuity
Piecewise Functions
Quadratic Equations
Limits
Formulas
f(x) = x²
f(x) = 2x + 3
a² = 2a + 3
Theorems
Limit Definition of Continuity
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Find the Parameter a for Continuity in a Piecewise Function
Find the Continuity of a Piecewise Function at x = 3
Find Parameter a for Continuity of a Piecewise Function
Piecewise Function Problem: Evaluating f(3) and Solving for a in f(a) = 5
Determine the Value of a for Continuity in a Piecewise Function